题目
1 2 2 0]-|||-A= -1 -2 4 t-|||-已知矩阵 o t 3 0J 的秩为2,则t的-|||-值为-|||-()-|||-A 3-|||-B 2-|||-C 1-|||-D 0
题目解答
答案
解析
步骤 1：矩阵的初等变换
对矩阵 A 进行初等行变换，使其化为阶梯形矩阵。首先，将第一行乘以 -1 加到第二行，得到：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 6 & t \\
0 & t & 3 & 0
\end{bmatrix}
$$
步骤 2：继续化简
将第二行除以 6，得到：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1 & \frac{t}{6} \\
0 & t & 3 & 0
\end{bmatrix}
$$
步骤 3：进一步化简
将第二行乘以 -3 加到第三行，得到：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1 & \frac{t}{6} \\
0 & t & 0 & -\frac{t}{2}
\end{bmatrix}
$$
步骤 4：判断秩
矩阵的秩为 2，意味着矩阵中非零行的个数为 2。观察矩阵，第三行的非零元素取决于 t 的值。如果 t 不为 0，则第三行非零，矩阵的秩为 3，与题设矛盾。因此，t 必须为 0。
对矩阵 A 进行初等行变换，使其化为阶梯形矩阵。首先，将第一行乘以 -1 加到第二行，得到：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 6 & t \\
0 & t & 3 & 0
\end{bmatrix}
$$
步骤 2：继续化简
将第二行除以 6，得到：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1 & \frac{t}{6} \\
0 & t & 3 & 0
\end{bmatrix}
$$
步骤 3：进一步化简
将第二行乘以 -3 加到第三行，得到：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 1 & \frac{t}{6} \\
0 & t & 0 & -\frac{t}{2}
\end{bmatrix}
$$
步骤 4：判断秩
矩阵的秩为 2，意味着矩阵中非零行的个数为 2。观察矩阵，第三行的非零元素取决于 t 的值。如果 t 不为 0，则第三行非零，矩阵的秩为 3，与题设矛盾。因此，t 必须为 0。