题目
设函数(x,y,z)=2(x)^3y-3(y)^2z在点(x,y,z)=2(x)^3y-3(y)^2z处梯度的模为(x,y,z)=2(x)^3y-3(y)^2z ( )A 11 B 15 C 21 D 22
设函数
在点
处梯度的模为
( )
A 11
B 15
C 21
D 22
题目解答
答案
本题考查函数在某点的梯度和梯度的模的计算，首先求函数的梯度：
先求函数对x的偏导数：
对y的偏导数：
对z的偏导数：
故函数的梯度表达式为
则在点处的表达式为
（注：将点带入计算即可）
故
故本题答案选 D
解析
步骤 1：求函数对x的偏导数
函数$f(x,y,z)=2{x}^{3}y-3{y}^{2}z$对x的偏导数为$\dfrac {\partial f}{\partial x}=(2{x}^{3}y-3{y}^{2}z)'=6{x}^{2}y$。
步骤 2：求函数对y的偏导数
函数$f(x,y,z)=2{x}^{3}y-3{y}^{2}z$对y的偏导数为$\dfrac {\partial f}{\partial y}=(2{x}^{3}y-3{y}^{2}z)'=2{x}^{3}-6yz$。
步骤 3：求函数对z的偏导数
函数$f(x,y,z)=2{x}^{3}y-3{y}^{2}z$对z的偏导数为$\dfrac {\partial f}{\partial z}=(2{x}^{3}y-3{y}^{2}z)'=-3{y}^{2}$。
步骤 4：求函数的梯度
函数的梯度表达式为$gradf(x,y,z)=(6{x}^{2}y,2{x}^{3}-6yz,-3{y}^{2})$。
步骤 5：求函数在点M(1,2,-1)处的梯度
将点M(1,2,-1)带入梯度表达式，得到$gradf(1,2,-1)=(12,14,-12)$。
步骤 6：求梯度的模
梯度的模为$gradf(1,2-1)|=\sqrt {{12}^{2}+{14}^{2}+{(-12)}^{2}}=22$。
函数$f(x,y,z)=2{x}^{3}y-3{y}^{2}z$对x的偏导数为$\dfrac {\partial f}{\partial x}=(2{x}^{3}y-3{y}^{2}z)'=6{x}^{2}y$。
步骤 2：求函数对y的偏导数
函数$f(x,y,z)=2{x}^{3}y-3{y}^{2}z$对y的偏导数为$\dfrac {\partial f}{\partial y}=(2{x}^{3}y-3{y}^{2}z)'=2{x}^{3}-6yz$。
步骤 3：求函数对z的偏导数
函数$f(x,y,z)=2{x}^{3}y-3{y}^{2}z$对z的偏导数为$\dfrac {\partial f}{\partial z}=(2{x}^{3}y-3{y}^{2}z)'=-3{y}^{2}$。
步骤 4：求函数的梯度
函数的梯度表达式为$gradf(x,y,z)=(6{x}^{2}y,2{x}^{3}-6yz,-3{y}^{2})$。
步骤 5：求函数在点M(1,2,-1)处的梯度
将点M(1,2,-1)带入梯度表达式，得到$gradf(1,2,-1)=(12,14,-12)$。
步骤 6：求梯度的模
梯度的模为$gradf(1,2-1)|=\sqrt {{12}^{2}+{14}^{2}+{(-12)}^{2}}=22$。