题目

【题目】-|||-设n阶矩阵A与n阶矩阵B等价,有 () .-|||-(A) |A|=aneq 0, 则 |B|=a (B) |A|=aneq 0, 则 |B|=-a-|||-(C) |A|=aneq 0, 则 |B|=0 (D) |A|=0, 则 |B|=0

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查矩阵等价的概念及其对行列式的影响，需要理解矩阵等价的定义及行列式的性质。

解题核心思路：

  1. 矩阵等价的定义是存在可逆矩阵$P$和$Q$，使得$PAQ = B$。
  2. 行列式的乘积性质：$|PAQ| = |P||A||Q|$，其中$|P|$和$|Q|$均不为零。
  3. 关键结论：若$|A|=0$，则$|B|=0$；若$|A|\neq 0$，则$|B|\neq 0$，但无法确定具体值。

破题关键点：

  • 通过行列式的性质推导$|B|$与$|A|$的关系。
  • 明确选项中关于行列式具体值的描述是否成立。

方法一：行列式性质推导

  1. 矩阵等价的定义：若$A$与$B$等价，则存在可逆矩阵$P$和$Q$，使得$PAQ = B$。
  2. 取行列式：对等式两边取行列式，得：
    $|B| = |PAQ| = |P||A||Q|$
  3. 分析选项：
    • 若$|A| = a \neq 0$，则$|B| = |P||Q| \cdot a$。由于$|P|$和$|Q|$均为非零常数，但具体值未知，因此无法确定$|B|$是否等于$a$、$-a$或$0$，故选项A、B、C均不成立。
    • 若$|A| = 0$，则$|B| = |P| \cdot 0 \cdot |Q| = 0$，因此选项D成立。

方法二：初等变换视角

  1. 初等变换对行列式的影响：
    • 交换行/列：改变行列式符号。
    • 倍乘行/列：行列式扩大（缩小）$k$倍（$k \neq 0$）。
    • 倍加行/列：行列式不变。
  2. 当$|A|=0$时：
    • 无论进行哪种初等变换，行列式始终保持为$0$（例如，交换或倍乘不会使$0$变为非零）。
    • 因此，经过初等变换得到的$B$满足$|B|=0$。