题目
49 填空 (2分) 若A,B相互独立，P(A)=0.4，P(B)=0.6，则P(overline(A)cupoverline(B))=_____.<|im_end|>49 填空 (2分) 若A,B相互独立，P(A)=0.4,P(B)=0.6,则P(overline(A)cupoverline(B))=____.
49 填空 (2分) 若A,B相互独立，P(A)=0.4，P(B)=0.6，则$P(\overline{A}\cup\overline{B})=$_____.
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49 填空 (2分) 若A,B相互独立，P(A)=0.4,P(B)=0.6,则$P(\overline{A}\cup\overline{B})$=____.
题目解答
答案
由题意，A与B相互独立，且 $P(A) = 0.4$，$P(B) = 0.6$。
首先，计算 $P(\overline{A})$ 和 $P(\overline{B})$：
\[
P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.4 = 0.6
\]
\[
P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0.6 = 0.4
\]
由于A与B独立，$\overline{A}$ 与 $\overline{B}$ 也独立。因此，
\[
P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = 0.6 \times 0.4 = 0.24
\]
根据概率的并集公式，
\[
P(\overline{A} \cup \overline{B}) = P(\overline{A}) + P(\overline{B}) - P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0.6 + 0.4 - 0.24 = 0.76
\]
或者，可以使用补集方法：
\[
P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 1 - P(A \cap B) = 1 - P(A) \cdot P(B) = 1 - 0.4 \times 0.6 = 1 - 0.24 = 0.76
\]
最终结果为：
\[
\boxed{0.76}
\]
解析
本题考查相互独立事件的概率计算以及概率的基本公式，如对立事件概率公式、独立事件概率乘法公式和概率的并集公式。解题思路是先根据对立事件概率公式求出$\overline{A}$与$\overline{B}$的概率，再利用独立事件性质求出$P(\overline{A} \cap \overline{B})$，最后通过概率的并集公式计算$P(\overline{A} \cup \overline{B})$；也可以利用摩根定律和独立事件概率乘法公式进行简便计算。
- 计算$\overline{A}$与$\overline{B}$的概率：
- 根据对立事件概率公式$P(\overline{C}) = 1 - P(C)$，对于事件$A$，有$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$。
- 已知$P(A)=0.4$，将其代入可得$P(\overline{A}) = 1 - 0.4 = 0.6$。
- 同理，对于事件$B$，$P(\overline{B}) = 1 - P(B)$。
- 已知$P(B)=0.6$，将其代入可得$P(\overline{B}) = 1 - 0.6 = 0.4$。
- 计算$P(\overline{A} \cap \overline{B})$：
- 因为$A$与$B$相互独立，根据独立事件的性质可知$\overline{A}$与$\overline{B}$也相互独立。
- 对于相互独立的事件$M$和$N$，有$P(M \cap N) = P(M) \cdot P(N)$，所以$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B})$。
- 把$P(\overline{A}) = 0.6$，$P(\overline{B}) = 0.4$代入可得$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0.6 \times 0.4 = 0.24$。
- 计算$P(\overline{A} \cup \overline{B})$：
- 方法一：利用概率的并集公式
根据概率的并集公式$P(M \cup N) = P(M) + P(N) - P(M \cap N)$，对于$\overline{A}$和$\overline{B}$，有$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = P(\overline{A}) + P(\overline{B}) - P(\overline{A} \cap \overline{B})$。
把$P(\overline{A}) = 0.6$，$P(\overline{B}) = 0.4$，$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0.24$代入可得$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 0.6 + 0.4 - 0.24 = 0.76$。 - 方法二：利用摩根定律和独立事件概率乘法公式
根据摩根定律$\overline{A} \cup \overline{B} = \overline{A \cap B}$，所以$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = P(\overline{A \cap B})$。
再根据对立事件概率公式$P(\overline{C}) = 1 - P(C)$，可得$P(\overline{A \cap B}) = 1 - P(A \cap B)$。
因为$A$与$B$相互独立，所以$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$。
把$P(A)=0.4$，$P(B)=0.6$代入可得$P(A \cap B) = 0.4 \times 0.6 = 0.24$。
则$P(\overline{A} \cup \overline{B}) = 1 - P(A \cap B) = 1 - 0.24 = 0.76$。
- 方法一：利用概率的并集公式