题目
24.设 = 1,2,3,4,5,6 ,R为A上的关系,R的关系图如图7.13所示.-|||-(1)求R^2,R^3的集合表达式;-|||-(2)求r(R),s(R ),t(R)的集合表达式24.设 = 1,2,3,4,5,6 ,R为A上的关系,R的关系图如图7.13所示.-|||-(1)求R^2,R^3的集合表达式;-|||-(2)求r(R),s(R ),t(R)的集合表达式
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定R的关系
根据题目描述，R的关系图中，关系R可以表示为：
$R=\{ \langle 1,5\rangle ,\langle 2,5\rangle ,\langle 3,3\rangle ,\langle 3,1\rangle ,\langle 4,5\rangle \} $
步骤 2：计算R^2
$R^2$ 是R的复合关系，即对于任意的 $a,b,c \in A$，如果 $\langle a,b\rangle \in R$ 且 $\langle b,c\rangle \in R$，则 $\langle a,c\rangle \in R^2$。根据R的关系，我们可以计算出：
$R^2=\{ \langle 3,3\rangle ,\langle 3,1\rangle ,\langle 3,5\rangle \} $
步骤 3：计算R^3
$R^3$ 是R^2与R的复合关系，即对于任意的 $a,b,c,d \in A$，如果 $\langle a,b\rangle \in R^2$ 且 $\langle b,c\rangle \in R$，则 $\langle a,c\rangle \in R^3$。根据R^2的关系，我们可以计算出：
$R^3=\{ \langle 3,3\rangle ,\langle 3,1\rangle ,\langle 3,5\rangle \} $
步骤 4：计算r(R)
$r(R)$ 是R的自反闭包，即在R的基础上添加所有形如 $\langle a,a\rangle$ 的元素，使得R成为自反的。根据R的关系，我们可以计算出：
$r(R)=\{ \langle 1,1\rangle ,\langle 1,5\rangle ,\langle 2,2\rangle ,\langle 2,5\rangle ,\langle 3,3\rangle ,\langle 3,1\rangle ,\langle 4,4\rangle ,\langle 4,5\rangle ,\langle 5,5\rangle ,\langle 6,6\rangle \} $
步骤 5：计算s(R)
$s(R)$ 是R的对称闭包，即在R的基础上添加所有形如 $\langle b,a\rangle$ 的元素，使得R成为对称的。根据R的关系，我们可以计算出：
$s(R)=\{ \langle 1,5\rangle ,\langle 5,1\rangle ,\langle 2,5\rangle ,\langle 5,2\rangle ,\langle 3,3\rangle ,\langle 3,1\rangle ,\langle 1,3\rangle ,\langle 4,5\rangle ,\langle 5,4\rangle \} $
步骤 6：计算t(R)
$t(R)$ 是R的传递闭包，即在R的基础上添加所有形如 $\langle a,c\rangle$ 的元素，使得R成为传递的。根据R的关系，我们可以计算出：
$t(R)=\{ \langle 1,5\rangle ,\langle 2,5\rangle ,\langle 3,3\rangle ,\langle 3,1\rangle ,\langle 3,5\rangle ,\langle 4,5\rangle \} $
根据题目描述，R的关系图中，关系R可以表示为：
$R=\{ \langle 1,5\rangle ,\langle 2,5\rangle ,\langle 3,3\rangle ,\langle 3,1\rangle ,\langle 4,5\rangle \} $
步骤 2：计算R^2
$R^2$ 是R的复合关系，即对于任意的 $a,b,c \in A$，如果 $\langle a,b\rangle \in R$ 且 $\langle b,c\rangle \in R$，则 $\langle a,c\rangle \in R^2$。根据R的关系，我们可以计算出：
$R^2=\{ \langle 3,3\rangle ,\langle 3,1\rangle ,\langle 3,5\rangle \} $
步骤 3：计算R^3
$R^3$ 是R^2与R的复合关系，即对于任意的 $a,b,c,d \in A$，如果 $\langle a,b\rangle \in R^2$ 且 $\langle b,c\rangle \in R$，则 $\langle a,c\rangle \in R^3$。根据R^2的关系，我们可以计算出：
$R^3=\{ \langle 3,3\rangle ,\langle 3,1\rangle ,\langle 3,5\rangle \} $
步骤 4：计算r(R)
$r(R)$ 是R的自反闭包，即在R的基础上添加所有形如 $\langle a,a\rangle$ 的元素，使得R成为自反的。根据R的关系，我们可以计算出：
$r(R)=\{ \langle 1,1\rangle ,\langle 1,5\rangle ,\langle 2,2\rangle ,\langle 2,5\rangle ,\langle 3,3\rangle ,\langle 3,1\rangle ,\langle 4,4\rangle ,\langle 4,5\rangle ,\langle 5,5\rangle ,\langle 6,6\rangle \} $
步骤 5：计算s(R)
$s(R)$ 是R的对称闭包，即在R的基础上添加所有形如 $\langle b,a\rangle$ 的元素，使得R成为对称的。根据R的关系，我们可以计算出：
$s(R)=\{ \langle 1,5\rangle ,\langle 5,1\rangle ,\langle 2,5\rangle ,\langle 5,2\rangle ,\langle 3,3\rangle ,\langle 3,1\rangle ,\langle 1,3\rangle ,\langle 4,5\rangle ,\langle 5,4\rangle \} $
步骤 6：计算t(R)
$t(R)$ 是R的传递闭包，即在R的基础上添加所有形如 $\langle a,c\rangle$ 的元素，使得R成为传递的。根据R的关系，我们可以计算出：
$t(R)=\{ \langle 1,5\rangle ,\langle 2,5\rangle ,\langle 3,3\rangle ,\langle 3,1\rangle ,\langle 3,5\rangle ,\langle 4,5\rangle \} $