[题目]-|||-(int )_(2)^+infty dfrac (dx)((x+7)sqrt {x-2)}= __

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是涉及无穷限积分的变量替换方法，以及对标准积分公式的应用。

解题核心思路：

1. 变量替换：通过令$t = \sqrt{x - 2}$，将原积分转化为关于$t$的有理分式积分，简化积分形式。
2. 积分公式应用：利用标准积分公式$\int \frac{1}{t^2 + a^2} dt = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{t}{a}\right) + C$，快速求解简化后的积分。
3. 极限计算：处理无穷上限时，需计算$\arctan$函数在无穷远处的极限值。

破题关键点：

• 选择合适的代换：根号内的$x - 2$提示令$t = \sqrt{x - 2}$，从而简化积分表达式。
• 上下限转换：代换后积分上下限从$x=2$对应$t=0$，$x=+\infty$对应$t=+\infty$。
• 分母化简：将$x + 7$转换为$t^2 + 9$，与$t$结合后形成标准的有理分式形式。

变量替换：
令$t = \sqrt{x - 2}$，则$x = t^2 + 2$，$dx = 2t \, dt$。
当$x = 2$时，$t = 0$；当$x \to +\infty$时，$t \to +\infty$。
原积分变为：
$\int_{0}^{+\infty} \frac{2t \, dt}{(t^2 + 2 + 7) \cdot t} = \int_{0}^{+\infty} \frac{2}{t^2 + 9} \, dt.$

积分计算：
利用标准积分公式$\int \frac{1}{t^2 + a^2} dt = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{t}{a}\right) + C$，其中$a = 3$，得：
$\int_{0}^{+\infty} \frac{2}{t^2 + 9} \, dt = 2 \cdot \left[ \frac{1}{3} \arctan\left(\frac{t}{3}\right) \right]_{0}^{+\infty}.$

极限代入：
当$t \to +\infty$时，$\arctan\left(\frac{t}{3}\right) \to \frac{\pi}{2}$；当$t = 0$时，$\arctan(0) = 0$。因此：
$2 \cdot \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi}{3}.$