题目
若一个圆锥的高和底面直径相等,且它的体积为 dfrac (2)(3)pi ,则此圆锥的侧面积为 ()-|||-A. sqrt (5)pi B. sqrt (3) π C. sqrt (2)pi D. sqrt (5)pi
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定圆锥的底面半径和高
设圆锥的底面半径为r，则底面直径为2r，根据题意，圆锥的高h也等于2r。
步骤 2：计算圆锥的体积
圆锥的体积公式为$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$。将h=2r代入，得到$V = \frac{1}{3}\pi r^2 (2r) = \frac{2}{3}\pi r^3$。根据题目，圆锥的体积为$\frac{2}{3}\pi$，因此有$\frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi$，解得$r^3 = 1$，从而$r = 1$。
步骤 3：计算圆锥的侧面积
圆锥的侧面积公式为$S_{侧面} = \pi r l$，其中l为圆锥的斜高。根据勾股定理，斜高$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{1^2 + (2 \times 1)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$。因此，圆锥的侧面积为$S_{侧面} = \pi \times 1 \times \sqrt{5} = \sqrt{5}\pi$。
设圆锥的底面半径为r，则底面直径为2r，根据题意，圆锥的高h也等于2r。
步骤 2：计算圆锥的体积
圆锥的体积公式为$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$。将h=2r代入，得到$V = \frac{1}{3}\pi r^2 (2r) = \frac{2}{3}\pi r^3$。根据题目，圆锥的体积为$\frac{2}{3}\pi$，因此有$\frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi$，解得$r^3 = 1$，从而$r = 1$。
步骤 3：计算圆锥的侧面积
圆锥的侧面积公式为$S_{侧面} = \pi r l$，其中l为圆锥的斜高。根据勾股定理，斜高$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{1^2 + (2 \times 1)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$。因此，圆锥的侧面积为$S_{侧面} = \pi \times 1 \times \sqrt{5} = \sqrt{5}\pi$。