题目

设二维随机变量((X)^6X)的分布律为((X)^6X)，试求：（1）求((X)^6X)Y}" data-width="102" data-height="26" data-size="1557" data-format="png" style="max-width:100%">；（2）随机变量((X)^6X)的分布律；（3）随机变量Z的期望与方差；（4）求X、Y的边缘分布律.

设二维随机变量 $\left(X,Y\right)$ 的分布律为 $\begin{pmatrix} X/Y&-1&1&2 \newline 0&0.1&0.05&0.2\newline 1&0.2&0.1&0.05\newline 2&0.1&0.2&0 \end{pmatrix}$ ，

试求：（1）求 $P\left\{X>Y\right\}$ ；

（2）随机变量 $Z=X+Y$ 的分布律；

（3）随机变量Z的期望与方差；

（4）求X、Y的边缘分布律.

题目解答

答案

（1） $P\left\{X>Y\right\}=P\left(X=0,Y=-1\right)+P\left(X=1,Y=-1\right)$ $+P\left(X=2,Y=-1\right)+P\left(X=2,Y=1\right)$ $=0.1+0.2+0.1+0.2=0.6$ ；

（2）随机变量 $Z=X+Y$ 的分布律为 $P\left(Z=-1\right)=P\left(X=0,Y=-1\right)=0.1$ ， $P\left(Z=0\right)=P\left(X=1,Y=-1\right)=0.2$ ， $P\left(Z=1\right)=P\left(X=0,Y=1\right)+P\left(X=2,Y=-1\right)$ $=0.05+0.1=0.15$ ， $P\left(Z=2\right)=P\left(X=0,Y=2\right)+P\left(X=1,Y=1\right)$ $=0.2+0.1=0.3$ ， $P\left(Z=3\right)=P\left(X=1,Y=2\right)+P\left(X=2,Y=1\right)$ $=0.05+0.2=0.25$ ， $P\left(Z=4\right)=P\left(X=2,Y=2\right)=0$ ，即 $\begin{pmatrix} Z&-1&0&1&2&3&4 \newline P&0.1&0.2&0.15&0.3&0.25&0 \end{pmatrix}$ ；（3）随机变量Z的数学期望为 $E\left(Z\right)=-1\times P\left(Z=-1\right)+0\times P\left(Z=0\right)$ $+1\times P\left(Z=1\right)+2\times P\left(Z=2\right)$ $+3\times P\left(Z=3\right)+4\times P\left(Z=4\right)$ $=-1\times0.1+0\times0.2+1\times0.15+2\times0.3$ $+3\times0.25+4\times0=1.4$ ， $P\left(Z^2=0\right)=P\left(Z=0\right)=0.2$ ， $P\left(Z^2=1\right)=P\left(Z=-1\right)+P\left(Z=1\right)$ $=0.1+0.15=0.25$ ， $P\left(Z^2=4\right)=P\left(Z=2\right)=0.3$ ， $P\left(Z^2=9\right)=P\left(Z=3\right)=0.25$ ， $P\left(Z^2=16\right)=P\left(Z=4\right)=0$ ，则 $E\left(Z^2\right)=0\times P\left(Z^2=0\right)+1\times P\left(Z^2=1\right)$ $+4\times P\left(Z^2=4\right)+9\times P\left(Z^2=9\right)+16\times P\left(Z^2=16\right)$ $=0\times0.2+1\times0.25+4\times0.3+9\times0.25+16\times0=3.7$ ，则Z的方差为 $D\left(Z\right)=E\left(Z^2\right)-E^2\left(Z\right)=3.7-1.4^2=1.74$ ；（4）X的边缘分布律为 $P\left(X=0\right)=P\left(X=0,Y=-1\right)+P\left(X=0,Y=1\right)$ $+P\left(X=0,Y=2\right)=0.1+0.05+0.2=0.35$ ， $P\left(X=1\right)=P\left(X=1,Y=-1\right)+P\left(X=1,Y=1\right)$ $+P\left(X=1,Y=2\right)=0.2+0.1+0.05=0.35$ ， $P\left(X=2\right)=P\left(X=2,Y=-1\right)+P\left(X=2,Y=1\right)$ $+P\left(X=2,Y=2\right)=0.1+0.2+0=0.3$ ，即 $\begin{pmatrix} X&0&1&2 \newline P&0.35&0.35&0.3 \end{pmatrix}$ ，

Y的边缘分布律为 $P\left(Y=-1\right)=P\left(X=0,Y=-1\right)+P\left(X=1,Y=-1\right)$ $+P\left(X=2,Y=-1\right)=0.1+0.2+0.1=0.4$ ， $P\left(Y=1\right)=P\left(X=0,Y=1\right)+P\left(X=1,Y=1\right)$ $+P\left(X=2,Y=1\right)=0.05+0.1+0.2=0.35$ ， $P\left(Y=2\right)=P\left(X=0,Y=2\right)+P\left(X=1,Y=2\right)$ $+P\left(X=2,Y=2\right)=0.2+0.05+0=0.25$ ，即 $\begin{pmatrix} Y&-1&1&2 \newline P&0.4&0.35&0.25 \end{pmatrix}$ .