题目
(7).求函数f(x,y)=3xy-x^3-y^3的极值。
(7).求函数$f(x,y)=3xy-x^{3}-y^{3}$的极值。
题目解答
答案
求解函数 $ f(x, y) = 3xy - x^3 - y^3 $ 的极值：
1. **求驻点**：
解方程组 $\cases{f_x = 3y - 3x^2 = 0 \\ f_y = 3x - 3y^2 = 0}$，得驻点 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。
2. **计算二阶偏导数**：
$f_{xx} = -6x$，$f_{xy} = 3$，$f_{yy} = -6y$。
3. **判别极值**：
- 对于 $(0,0)$，$\Delta = 3^2 - 0 \cdot 0 = 9 > 0$，非极值点。
- 对于 $(1,1)$，$\Delta = 3^2 - (-6) \cdot (-6) = -27 < 0$，且 $f_{xx} = -6 < 0$，为极大值点。
4. **计算极大值**：
$f(1,1) = 3 \cdot 1 \cdot 1 - 1^3 - 1^3 = 1$。
**答案**：
极大值为 $1$，在点 $(1,1)$ 处取得。无极小值。
解析
步骤 1：求驻点
为了找到函数 $f(x, y) = 3xy - x^3 - y^3$ 的极值，我们首先需要找到它的驻点。驻点是函数的偏导数同时为零的点。因此，我们需要解方程组：
$$
\cases{
f_x = 3y - 3x^2 = 0 \\
f_y = 3x - 3y^2 = 0
}
$$
解这个方程组，我们得到驻点 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。
步骤 2：计算二阶偏导数
接下来，我们需要计算二阶偏导数，以便使用二阶导数测试来判断驻点的性质。二阶偏导数为：
$$
f_{xx} = -6x, \quad f_{xy} = 3, \quad f_{yy} = -6y
$$
步骤 3：判别极值
现在，我们使用二阶导数测试来判断每个驻点的性质。二阶导数测试的判别式为：
$$
\Delta = f_{xy}^2 - f_{xx}f_{yy}
$$
- 对于驻点 $(0,0)$，$\Delta = 3^2 - 0 \cdot 0 = 9 > 0$，因此 $(0,0)$ 不是极值点。
- 对于驻点 $(1,1)$，$\Delta = 3^2 - (-6) \cdot (-6) = -27 < 0$，且 $f_{xx} = -6 < 0$，因此 $(1,1)$ 是极大值点。
步骤 4：计算极大值
最后，我们计算函数在极大值点 $(1,1)$ 的值：
$$
f(1,1) = 3 \cdot 1 \cdot 1 - 1^3 - 1^3 = 1
$$
为了找到函数 $f(x, y) = 3xy - x^3 - y^3$ 的极值，我们首先需要找到它的驻点。驻点是函数的偏导数同时为零的点。因此，我们需要解方程组：
$$
\cases{
f_x = 3y - 3x^2 = 0 \\
f_y = 3x - 3y^2 = 0
}
$$
解这个方程组，我们得到驻点 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。
步骤 2：计算二阶偏导数
接下来，我们需要计算二阶偏导数，以便使用二阶导数测试来判断驻点的性质。二阶偏导数为：
$$
f_{xx} = -6x, \quad f_{xy} = 3, \quad f_{yy} = -6y
$$
步骤 3：判别极值
现在，我们使用二阶导数测试来判断每个驻点的性质。二阶导数测试的判别式为：
$$
\Delta = f_{xy}^2 - f_{xx}f_{yy}
$$
- 对于驻点 $(0,0)$，$\Delta = 3^2 - 0 \cdot 0 = 9 > 0$，因此 $(0,0)$ 不是极值点。
- 对于驻点 $(1,1)$，$\Delta = 3^2 - (-6) \cdot (-6) = -27 < 0$，且 $f_{xx} = -6 < 0$，因此 $(1,1)$ 是极大值点。
步骤 4：计算极大值
最后，我们计算函数在极大值点 $(1,1)$ 的值：
$$
f(1,1) = 3 \cdot 1 \cdot 1 - 1^3 - 1^3 = 1
$$