题目
(2)int(2lnx+1)/(x)dx;
(2)$\int\frac{2lnx+1}{x}dx;$
题目解答
答案
设 $u = \ln x$，则 $du = \frac{1}{x}dx$。原积分变为：
\[
\int (2u + 1)du = u^2 + u + C
\]
将 $u = \ln x$ 代回，得：
\[
(\ln x)^2 + \ln x + C
\]
或者拆分积分：
\[
\int \frac{2 \ln x}{x}dx + \int \frac{1}{x}dx = \int 2u \, du + \ln x = u^2 + \ln x + C
\]
答案：$\boxed{(\ln x)^2 + \ln x + C}$
解析
本题主要考察不定积分的计算，可通过换元法或拆分积分的方式求解。
方法一：换元法
观察被积函数 $\frac{2\ln x + 1}{x}$，发现 $\frac{1}{x}dx$ 是 $\ln x$ 的微分。
- 设 $u = \ln x$，则 $du = \frac{1}{x}dx$。
- 原积分转化为：
$\int (2u + 1)du$ - 对 $2u + 1$ 积分：
$\int (2u + 1)du = u^2 + u + C$ - 代回 $u = \ln x$，得：
$(\ln x)^2 + \ln x + C$
方法二：拆分积分
将原积分拆分为两项：
$\int \frac{2\ln x}{x}dx + \int \frac{1}{x}dx$
- 第一项中，$\frac{\ln x}{x}dx = \ln x \cdot d(\ln x)$，积分得：
$\int 2\ln x \cdot d(\ln x) = (\ln x)^2 + C_1$ - 第二项积分：
$\int \frac{1}{x}dx = \ln x + C_2$ - 合并常数项，得：
$(\ln x)^2 + \ln x + C$