已知f（x）=ax-(sinx)/(co(s)^3x)，x∈（0，(π)/(2)）．（1）若a=8，讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）＜sin2x恒成立，求a的取值范围．

解：（1）已知f（x）=ax-$\frac{sinx}{co{s}^{3}x}$，函数定义域为（0，$\frac{π}{2}$），
若a=8，此时f（x）=8x-$\frac{sinx}{co{s}^{3}x}$，
可得f′（x）=8-$\frac{cosx•cos^{3}x+sinx•3cos^{2}x•sinx}{co{s}^{6}x}$
=$\frac{（4cos^{2}x+3）（2cos^{2}x-1）}{co{s}^{4}x}$，
因为4cos²x+3＞0，cos⁴x＞0，
所以当cosx＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即0＜x＜$\frac{π}{4}$时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当cosx＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{π}{4}$＜x＜$\frac{π}{2}$时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
（2）不妨设g（x）=ax-$\frac{sinx}{co{s}^{3}x}$-sin2x，函数定义域为（0，$\frac{π}{2}$），
g′（x）=a-$\frac{3-2cos^{2}x}{co{s}^{4}x}$-2cos2x=a-$\frac{3-2cos^{2}x}{co{s}^{4}x}$-2（2cos²x-1），
令cos²x=t，0＜t＜1，
此时g′（t）=a+2-4t+$\frac{2}{t}$-$\frac{3}{t^{2}}$，
不妨令k（t）=a+2-4t+$\frac{2}{t}$-$\frac{3}{t^{2}}$，
可得k′（t）=-4-$\frac{2}{t^{2}}$+$\frac{6}{t^{3}}$=-$\frac{2（t-1）（2t^{2}+2t+3）}{t^{3}}$＞0，
所以k（t）单调递减，
此时k（t）＜k（1）=a-3，
①当a≤3时，g′（x）=k（t）＜a-3≤0，
所以g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上单调递减，
此时g（x）＜g（0）=0，
则当a≤3时，f（x）＜sin2x恒成立，符合题意；
②当a＞3时，
当t→0时，$\frac{2}{t}$-$\frac{3}{t^{2}}$=-3（$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{1}{3}$→-∞，
所以k（t）→-∞，
又k（1）=a-3＞0，
所以在区间（0，1）上存在一点t₀，使得k（t₀）=0，
即存在x₀∈（0，$\frac{π}{2}$），使得g′（x₀）=0，
当t₀＜t＜1时，k（t）＞0，
所以当0＜x＜x₀时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
可得当0＜x＜x₀时，g（x）＞g（0）=0，不符合题意，
综上，a的取值范围为（-∞，3]．