求过点(1,2,1)且与两直线 ) x+2y-z+1=0 x-y+z-1=0 . 都平行-|||-的平面方程.

步骤 1：确定两直线的方向向量
给定的两直线方程分别为：
直线1：$\left \{ \begin{matrix} x+2y-z+1=0\\ x-y+z-1=0\end{matrix} \right.$
直线2：$\left \{ \begin{matrix} 2x-y+z=0\\ x-y+z=0\end{matrix} \right.$
直线的方向向量可以通过求解两个平面方程的法向量的叉积得到。对于直线1，其法向量为$\vec{n_1} = (1, 2, -1)$和$\vec{n_2} = (1, -1, 1)$，对于直线2，其法向量为$\vec{n_3} = (2, -1, 1)$和$\vec{n_4} = (1, -1, 1)$。因此，直线1的方向向量$\vec{s_1} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$，直线2的方向向量$\vec{s_2} = \vec{n_3} \times \vec{n_4}$。
步骤 2：计算方向向量
计算$\vec{s_1}$和$\vec{s_2}$：
$\vec{s_1} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \left |\begin{matrix} i& j& k\\ 1& 2& -1\\ 1& -1& 1\end{matrix} \right | = \{1 \cdot (-1) - (-1) \cdot (-1), -1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1), 1 \cdot (-1) - 1 \cdot 2\} = \{1, -2, -3\}$
$\vec{s_2} = \vec{n_3} \times \vec{n_4} = \left |\begin{matrix} i& j& k\\ 2& -1& 1\\ 1& -1& 1\end{matrix} \right | = \{2 \cdot (-1) - 1 \cdot (-1), 1 \cdot 1 - 2 \cdot 1, 2 \cdot (-1) - 1 \cdot (-1)\} = \{0, -1, -1\}$
步骤 3：确定平面的法向量
平面的法向量$\vec{n}$与两直线的方向向量$\vec{s_1}$和$\vec{s_2}$都垂直，因此$\vec{n} = \vec{s_1} \times \vec{s_2}$。
$\vec{n} = \vec{s_1} \times \vec{s_2} = \left |\begin{matrix} i& j& k\\ 1& -2& -3\\ 0& -1& -1\end{matrix} \right | = \{(-2) \cdot (-1) - (-3) \cdot (-1), -3 \cdot 0 - 1 \cdot (-1), 1 \cdot (-1) - 0 \cdot (-2)\} = \{-1, 1, -1\}$
步骤 4：确定平面方程
平面方程的一般形式为$Ax + By + Cz + D = 0$，其中$\vec{n} = (A, B, C)$是平面的法向量。将点(1,2,1)代入平面方程，可以求得D的值。
$-1 \cdot (x - 1) + 1 \cdot (y - 2) - 1 \cdot (z - 1) = 0$
$-x + 1 + y - 2 - z + 1 = 0$
$-x + y - z = 0$