已知随机变量X的概率密度为 f(x) = Ae^-|x|, -infty < x < +infty.求:(1) 常数A;(2) P0 < X < 1;(3) F(x).

我们来逐步解决这个概率论题目。

题目回顾：

已知随机变量 $ X $ 的概率密度函数为：

$f(x) = A e^{-|x|}, \quad -\infty < x < +\infty$

要求：

1. 求常数 $ A $；
2. 求概率 $ P\{0 < X < 1\} $；
3. 求分布函数 $ F(x) $。

(1) 求常数 A

概率密度函数必须满足：

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 1$

代入 $ f(x) = A e^{-|x|} $，我们有：

$\int_{-\infty}^{+\infty} A e^{-|x|} \, dx = 1$

由于 $ |x| $ 是偶函数，$ e^{-|x|} $ 也是偶函数，因此可以将积分拆分为两部分：

$\int_{-\infty}^{+\infty} A e^{-|x|} \, dx = A \left( \int_{-\infty}^{0} e^{x} \, dx + \int_{0}^{\infty} e^{-x} \, dx \right)$

计算这两个积分：

• $ \int_{-\infty}^{0} e^{x} \, dx = \lim_{a \to -\infty} \int_{a}^{0} e^{x} \, dx = \lim_{a \to -\infty} (e^0 - e^a) = 1 - 0 = 1 $
• $ \int_{0}^{\infty} e^{-x} \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} e^{-x} \, dx = \lim_{b \to \infty} (1 - e^{-b}) = 1 $

所以：

$A (1 + 1) = 2A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{2}$

(2) 求概率 $ P\{0 < X < 1\} $

概率密度函数已知为：

$f(x) = \frac{1}{2} e^{-|x|}$

要求：

$P\{0 < X < 1\} = \int_{0}^{1} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{2} e^{-x} \, dx$

因为 $ x > 0 $，所以 $ |x| = x $，积分计算如下：

$\int_{0}^{1} \frac{1}{2} e^{-x} \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{-x} \, dx = \frac{1}{2} \left[ -e^{-x} \right]_0^1 = \frac{1}{2} ( -e^{-1} + e^0 ) = \frac{1}{2} (1 - e^{-1})$

所以：

$P\{0 < X < 1\} = \frac{1}{2}(1 - e^{-1})$

(3) 求分布函数 $ F(x) $

分布函数定义为：

$F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$

我们分情况讨论：

情况1：$ x \geq 0 $

$F(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{2} e^{-|t|} \, dt = \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{2} e^{t} \, dt + \int_{0}^{x} \frac{1}{2} e^{-t} \, dt$

• 第一部分：$ \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{2} e^{t} \, dt = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} $
• 第二部分：$ \int_{0}^{x} \frac{1}{2} e^{-t} \, dt = \frac{1}{2} (1 - e^{-x}) $

所以：

$F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(1 - e^{-x}) = 1 - \frac{1}{2} e^{-x}$

情况2：$ x < 0 $

$F(x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{2} e^{-|t|} \, dt = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{2} e^{t} \, dt = \frac{1}{2} e^{x}$

最终答案总结：

1. 常数 $ A = \boxed{\frac{1}{2}} $
2. $ P\{0 < X < 1\} = \boxed{\frac{1}{2}(1 - e^{-1})} $
3. 分布函数 $ F(x) $ 为：

$F(x) = \begin{cases}\frac{1}{2} e^{x}, & x < 0 \\1 - \frac{1}{2} e^{-x}, & x \geq 0\end{cases}$

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