设随机变量X的概率密度函数(x)= ) k((1-x))^2-1lt xlt 1 0 .。

步骤 1：确定常数k
根据概率密度函数的性质，整个区间上的积分应等于1。因此，我们有：
$$1 = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \int_{-1}^{1} k(1-x)^2 dx$$
计算积分：
$$\int_{-1}^{1} k(1-x)^2 dx = k\int_{-1}^{1} (1-x)^2 dx = k\left[\frac{(1-x)^3}{-3}\right]_{-1}^{1} = k\left(\frac{1}{3} - \frac{-8}{3}\right) = \frac{8k}{3}$$
因此，我们得到：
$$1 = \frac{8k}{3}$$
解得：
$$k = \frac{3}{8}$$
步骤 2：求分布函数
分布函数$F(x)$定义为$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)dt$。根据$f(x)$的定义，我们分三种情况讨论：
- 当$x \leq -1$时，$F(x) = 0$，因为$f(x)$在$(-\infty, -1]$上为0。
- 当$-1 < x < 1$时，$F(x) = \int_{-1}^{x} \frac{3}{8}(1-t)^2 dt$。
- 当$x \geq 1$时，$F(x) = 1$，因为$f(x)$在$[1, +\infty)$上为0。
计算$-1 < x < 1$时的积分：
$$F(x) = \int_{-1}^{x} \frac{3}{8}(1-t)^2 dt = \frac{3}{8}\left[\frac{(1-t)^3}{-3}\right]_{-1}^{x} = 1 - \frac{1}{8}(1-x)^3$$
步骤 3：求$P\{0 < X \leq 2\}$
根据分布函数的定义，$P\{0 < X \leq 2\} = F(2) - F(0)$。由于$F(x)$在$x \geq 1$时为1，我们有：
$$P\{0 < X \leq 2\} = F(2) - F(0) = 1 - \left(1 - \frac{1}{8}(1-0)^3\right) = \frac{1}{8}$$