3.(单选题) 已知事件A、B都发生时，事件C一定发生。则下列命题必成立的是( )。A P(C)=P(AB)B P(C)=P(AUB)C P(C)≥P(A)+P(B)-1D P(C)≤P(A)+P(B)-1

考查要点：本题主要考查事件包含关系的概率性质及概率加法公式的应用。

解题核心思路：

1. 事件包含关系：由题意可知，当事件$A$和$B$同时发生时，事件$C$必然发生，即$A \cap B \subseteq C$。根据概率的单调性，可得$P(C) \geq P(A \cap B)$。
2. 概率加法公式：利用公式$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$，结合$P(A \cup B) \leq 1$，推导出$P(A \cap B) \geq P(A) + P(B) - 1$。
3. 综合不等式：将上述两步结合，最终得到$P(C) \geq P(A) + P(B) - 1$，对应选项C。

破题关键点：

• 明确事件包含关系，建立$A \cap B \subseteq C$的逻辑关系。
• 灵活运用概率加法公式，通过$P(A \cup B) \leq 1$简化表达式。
• 排除干扰选项，注意等式关系与不等式方向的合理性。

步骤1：分析事件包含关系
题目中“事件$A$、$B$都发生时，事件$C$一定发生”等价于$A \cap B \subseteq C$。根据概率的单调性，若事件$D \subseteq E$，则$P(D) \leq P(E)$，因此有：
$P(C) \geq P(A \cap B).$

步骤2：展开$P(A \cap B)$
根据概率加法公式：
$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B).$
由于概率最大值不超过1，即$P(A \cup B) \leq 1$，代入得：
$P(A \cap B) \geq P(A) + P(B) - 1.$

步骤3：综合不等式
结合步骤1和步骤2的结果：
$P(C) \geq P(A \cap B) \geq P(A) + P(B) - 1,$
即：
$P(C) \geq P(A) + P(B) - 1.$
因此选项C正确。

选项分析：

• 选项A、B：无法通过题设条件直接推出等式关系。
• 选项D：不等式方向与推导结果矛盾。
• 选项C：符合推导结果，必成立。