设F_1(x) ，F_2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f_1(x) ,f_2(x)是连续函数，则必为概率密度的是()A. f_1(x)f_2(x)B. 2f_2(x)F_1(x)C. f_1(x)F_2(x)D. f_1(x)F_2(x)+f_2(x)F_1(x)

考查要点：本题主要考查概率密度函数的性质及其组合形式的判断。关键在于理解概率密度函数的两个基本条件：非负性和积分等于1。

解题思路：

1. 非负性：概率密度函数必须非负，因此选项中的表达式需保证所有情况下的非负性。
2. 积分归一性：概率密度函数在定义域上的积分必须等于1。需验证各选项是否满足这一条件。
3. 关键技巧：通过分部积分或变量替换，分析选项D的积分是否恒等于1，从而确定其是否为概率密度。

破题关键：
选项D的表达式形式特殊，通过分部积分可发现其积分恒为1，且非负性显然成立，因此必为概率密度。

选项分析：

选项A：$f_1(x)f_2(x)$

• 非负性：成立，因概率密度非负。
• 积分归一性：若$f_1(x)$和$f_2(x)$独立，则积分$\int f_1(x)f_2(x)dx = 1 \times 1 = 1$，但题目未说明独立性，故不一定成立。

选项B：$2f_2(x)F_1(x)$

• 非负性：成立，因$F_1(x)$取值在$[0,1]$。
• 积分归一性：$\int 2f_2(x)F_1(x)dx$的值依赖于$F_1(x)$的具体形式，不一定等于1。

选项C：$f_1(x)F_2(x)$

• 非负性：成立。
• 积分归一性：$\int f_1(x)F_2(x)dx$的值依赖于$F_2(x)$，不一定等于1。

选项D：$f_1(x)F_2(x) + f_2(x)F_1(x)$

• 非负性：显然成立，因两项均非负。
• 积分归一性：通过分部积分可证：
  $\begin{aligned} \int \left[f_1(x)F_2(x) + f_2(x)F_1(x)\right]dx &= \int f_1(x)F_2(x)dx + \int f_2(x)F_1(x)dx \\ &= \int F_2(x)df_1(x) + \int F_1(x)df_2(x) \\ &= 1 - \int f_1(x)F_2(x)dx + 1 - \int f_2(x)F_1(x)dx \\ \Rightarrow \int \left[f_1(x)F_2(x) + f_2(x)F_1(x)\right]dx &= 1. \end{aligned}$
  因此，积分恒为1。