题目

如图,AB为 div 0 的直径,F为弦AC的中点,连接OF并延长交AC于点D,-|||-过点D作 div 0 的切线,交BA的延长线于点E.-|||-(1)求证: ykparallel DE;-|||-(2)连接CD,若 OA=AE=1 ,求四边形ACDE面积.-|||-D C-|||-E A O B

题目解答

答案

解析

考查要点：本题综合考查圆的性质、切线性质、平行四边形判定与面积计算。
解题思路：

  1. 第（1）问：通过证明两条直线均与同一直线垂直，从而得出平行关系。关键点在于利用垂径定理和切线性质。
  2. 第（2）问：通过证明四边形为平行四边形，转化为求底和高的乘积。需结合等边三角形性质和面积公式。

第（1）题

证明 $AC \parallel DE$

  1. 切线性质：$\because ED$ 是圆 $O$ 的切线，$\therefore OD \perp DE$（切线与半径垂直）。
  2. 垂径定理：$\because F$ 是弦 $AC$ 的中点，$\therefore OD \perp AC$（直径过弦中点则垂直于弦）。
  3. 平行判定：$\because AC \perp OD$ 且 $DE \perp OD$，$\therefore AC \parallel DE$（同垂直于一条直线的两直线平行）。

第（2）题

求四边形 $ACDE$ 的面积

  1. 证明平行四边形：
    • $\because AC \parallel DE$（已证），且 $AE = CD = 1$（等弧或等线段推导），
    • $\therefore$ 四边形 $ACDE$ 是平行四边形（一组对边平行且相等）。
  2. 求高 $DM$：
    • 作 $DM \perp OA$ 于 $M$，$\because \triangle ADO$ 是等边三角形（$AD = AO = OD = 1$），
    • $\therefore \angle OAD = 60^\circ$，$\therefore DM = AD \cdot \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
  3. 面积计算：
    • 平行四边形面积 $= AE \cdot DM = 1 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$。