题目
如图,AB为 div 0 的直径,F为弦AC的中点,连接OF并延长交AC于点D,-|||-过点D作 div 0 的切线,交BA的延长线于点E.-|||-(1)求证: ykparallel DE;-|||-(2)连接CD,若 OA=AE=1 ,求四边形ACDE面积.-|||-D C-|||-E A O B
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明 $AC\ykparallel DE$
由于 $ED$ 与圆 $O$ 相切于点 $D$，根据切线的性质，$OD\bot DE$。又因为 $F$ 为弦 $AC$ 的中点，根据垂径定理，$OD\bot AC$。因此，$AC\ykparallel DE$。
步骤 2：求四边形 $ACDE$ 的面积
作 $DM\bot OA$ 于点 $M$，连接 $CD$，$CO$，$AD$。由于 $AC\ykparallel DE$，且 $AE=AO$，所以 $OF=DF$。因为 $AF\bot DO$，所以 $AD=AO$，即 $AD=AO=OD$。因此，$\Delta ADO$ 是等边三角形，同理 $\Delta CDO$ 也是等边三角形。所以 $\angle CDO=\angle DOA={60}^{\circ }$，$AE=CD=AD=AO=OD=1$。因此，$AO\ykparallel CD$，又 $AE=CD$，所以四边形 $ACDE$ 是平行四边形。易知 $DM=\dfrac {\sqrt {3}}{2}$。所以平行四边形 $ACDE$ 的面积 $=AE\cdot DM=\dfrac {\sqrt {3}}{2}$。
由于 $ED$ 与圆 $O$ 相切于点 $D$，根据切线的性质，$OD\bot DE$。又因为 $F$ 为弦 $AC$ 的中点，根据垂径定理，$OD\bot AC$。因此，$AC\ykparallel DE$。
步骤 2：求四边形 $ACDE$ 的面积
作 $DM\bot OA$ 于点 $M$，连接 $CD$，$CO$，$AD$。由于 $AC\ykparallel DE$，且 $AE=AO$，所以 $OF=DF$。因为 $AF\bot DO$，所以 $AD=AO$，即 $AD=AO=OD$。因此，$\Delta ADO$ 是等边三角形，同理 $\Delta CDO$ 也是等边三角形。所以 $\angle CDO=\angle DOA={60}^{\circ }$，$AE=CD=AD=AO=OD=1$。因此，$AO\ykparallel CD$，又 $AE=CD$，所以四边形 $ACDE$ 是平行四边形。易知 $DM=\dfrac {\sqrt {3}}{2}$。所以平行四边形 $ACDE$ 的面积 $=AE\cdot DM=\dfrac {\sqrt {3}}{2}$。