题目

设 α1=(1,2,0)T ， α2=(1,a+2,−3a)T ， α3=(−1,−b−2,a+2b)T ， β=(1,3−3)T ，试讨论 a ， b 当为何值时， ( Ⅰ )β 不能由 α1 ， α2 ， α3 线性表示； ( Ⅱ )β 可由 α1 ， α2 ， α3 唯一地线性表示，并求出表示式； ( Ⅲ )β 可由 α1 ， α2 ， α3 线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式。

设 α1=(1,2,0)T ， α2=(1,a+2,−3a)T ， α3=(−1,−b−2,a+2b)T ， β=(1,3−3)T ，试讨论 a ， b 当为何值时，

( Ⅰ )β 不能由 α1 ， α2 ， α3 线性表示；

( Ⅱ )β 可由 α1 ， α2 ， α3 唯一地线性表示，并求出表示式；

( Ⅲ )β 可由 α1 ， α2 ， α3 线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式。

题目解答

答案

设有数 k1,k2,k3, 使得 k1α1+k2α2+k3α3=β.(∗)

记 A=(α1,α2,α3).

对矩阵 (A,β) 施以初等行变换，有：

(A,β)=⎡⎣⎢1201a+2−3a−1−b−2a+2b13−3⎤⎦⎥→⎡⎣⎢1001a0−1−ba−b110⎤⎦⎥.

( Ⅰ )

①当 a=0 时 , 有： (A,β)→⎡⎣⎢100100−1−b011−1⎤⎦⎥ ，

可知： r(A)≠r(A,β) 时 , 方程组 (∗) 无解，

此时 β 不能由 α1,α2,α3 线性表示。

( Ⅱ )

②当 a≠0 ，且 a≠b 时，有：

(A,β)→

解析

步骤 1：构造矩阵 (A, β)
构造矩阵 (A, β) ，其中 A 是由向量 α1, α2, α3 组成的矩阵，β 是向量 β。
步骤 2：对矩阵 (A, β) 施以初等行变换
对矩阵 (A, β) 施以初等行变换，以简化矩阵，便于分析。
步骤 3：分析矩阵的秩
分析矩阵的秩，以确定 β 是否能由 α1, α2, α3 线性表示，以及表示是否唯一。
步骤 4：求解线性方程组
当 β 可由 α1, α2, α3 唯一地线性表示时，求解线性方程组，得到表示式。
步骤 5：讨论表示式不唯一的情况
当 β 可由 α1, α2, α3 线性表示，但表示式不唯一时，讨论表示式。