题目
设函数f(x)具有任意阶导数,且fˊ(x)=[f(x)]2,则f(n)(x)= ( )A. n[f(x)]n+1B. n![f(x)]n+1C. (n+1)[f(x)]n+1D. (n+1)![f(x)]n+1
设函数f(x)具有任意阶导数,且fˊ(x)=[f(x)]2,则f(n)(x)= ( )
- A. n[f(x)]n+1
- B. n![f(x)]n+1
- C. (n+1)[f(x)]n+1
- D. (n+1)![f(x)]n+1
题目解答
答案
B
解析
步骤 1：确定一阶导数
已知函数f(x)的一阶导数f'(x)=[f(x)]^2。
步骤 2：确定二阶导数
对f'(x)求导，得到f''(x)。根据链式法则，f''(x)=2f(x)f'(x)=2f(x)[f(x)]^2=2[f(x)]^3。
步骤 3：确定三阶导数
对f''(x)求导，得到f'''(x)。根据链式法则，f'''(x)=6[f(x)]^2f'(x)=6[f(x)]^2[f(x)]^2=6[f(x)]^4。
步骤 4：确定n阶导数
观察上述导数的规律，可以发现f(n)(x)=n![f(x)]^(n+1)。这是因为每次求导都会增加一个f(x)的因子，并且导数的阶数会增加一个阶乘因子。
已知函数f(x)的一阶导数f'(x)=[f(x)]^2。
步骤 2：确定二阶导数
对f'(x)求导，得到f''(x)。根据链式法则，f''(x)=2f(x)f'(x)=2f(x)[f(x)]^2=2[f(x)]^3。
步骤 3：确定三阶导数
对f''(x)求导，得到f'''(x)。根据链式法则，f'''(x)=6[f(x)]^2f'(x)=6[f(x)]^2[f(x)]^2=6[f(x)]^4。
步骤 4：确定n阶导数
观察上述导数的规律，可以发现f(n)(x)=n![f(x)]^(n+1)。这是因为每次求导都会增加一个f(x)的因子，并且导数的阶数会增加一个阶乘因子。