设函数f(x)具有任意阶导数,且fˊ(x)=[f(x)]2,则f(n)(x)= ( )A. n[f(x)]n+1B. n![f(x)]n+1C. (n+1)[f(x)]n+1D. (n+1)![f(x)]n+1

考查要点：本题主要考查高阶导数的递推规律及数学归纳法的应用，需要学生从低阶导数中发现规律并推广到一般形式。

解题核心思路：通过逐次求导，观察各阶导数的系数和次数变化，归纳出通项公式。关键在于发现系数为阶乘增长，次数为阶数加1，从而得出通项表达式。

步骤1：计算前几阶导数

1. 一阶导数：
   $f'(x) = [f(x)]^2$
2. 二阶导数：
   $f''(x) = \frac{d}{dx}[f(x)]^2 = 2f(x)f'(x) = 2[f(x)]^3$
3. 三阶导数：
   $f'''(x) = \frac{d}{dx}[2[f(x)]^3] = 6[f(x)]^2f'(x) = 6[f(x)]^4$
4. 四阶导数：
   $f''''(x) = \frac{d}{dx}[6[f(x)]^4] = 24[f(x)]^3f'(x) = 24[f(x)]^5$

步骤2：归纳通项公式

• 系数规律：系数依次为 $1!,\ 2!,\ 3!,\ 4!$，即第 $n$ 阶导数的系数为 $n!$。
• 次数规律：次数依次为 $2,\ 3,\ 4,\ 5$，即第 $n$ 阶导数的次数为 $n+1$。
• 通项猜想：
  $f^{(n)}(x) = n! \cdot [f(x)]^{n+1}$

步骤3：数学归纳法证明

1. 基础情形：当 $n=1$ 时，$f'(x) = 1! \cdot [f(x)]^{2}$，成立。
2. 归纳假设：假设当 $n=k$ 时，$f^{(k)}(x) = k! \cdot [f(x)]^{k+1}$。
3. 递推步骤：对 $f^{(k)}(x)$ 求导：
   $f^{(k+1)}(x) = \frac{d}{dx}\left(k! \cdot [f(x)]^{k+1}\right) = k! \cdot (k+1)[f(x)]^{k} \cdot f'(x)$
   代入 $f'(x) = [f(x)]^2$：
   $f^{(k+1)}(x) = k! \cdot (k+1)[f(x)]^{k} \cdot [f(x)]^2 = (k+1)! \cdot [f(x)]^{k+2}$
   即当 $n=k+1$ 时公式成立。

综上，通项公式成立。