题目

单选题（共15题，30.0分） 题型说明：从备选答案中选出一个正确答案，错选、不选均不得分。 5. (2.0分) 如果lim_(xtoinfty)(1+(3)/(x))^x=e，则k=（） A. 3 B. -(1)/(3) C. (1)/(3) D. -3

单选题（共15题，30.0分） 题型说明：从备选答案中选出一个正确答案，错选、不选均不得分。 5. (2.0分) 如果$\lim_{x\to\infty}(1+\frac{3}{x})^{x}=e$，则k=（）
A. 3
B. $-\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{3}$
D. -3

题目解答

答案

利用重要极限公式 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a$，将给定表达式重写为： \[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^x = \lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{1}{\frac{x}{3}}\right)^{\frac{x}{3}}\right]^3 = e^3 \] 已知 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^x = e^k$，因此 $k = 3$。 **答案：** $\boxed{A}$ 或者使用对数近似 $\ln(1 + y) \approx y$（当 $y \to 0$）： \[ \lim_{x \to \infty} x \ln \left(1 + \frac{3}{x}\right) = \lim_{x \to \infty} x \cdot \frac{3}{x} = 3 \] 取指数得 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^x = e^3$，故 $k = 3$。 **答案：** $\boxed{A}$ 或者应用洛必达法则： \[ \lim_{x \to \infty} x \ln \left(1 + \frac{3}{x}\right) = \lim_{y \to 0} \frac{\ln(1 + 3y)}{y} = \lim_{y \to 0} \frac{3}{1 + 3y} = 3 \] 同样得到 $k = 3$。 **答案：** $\boxed{A}$ **最终答案：** $\boxed{A}$

解析

本题考查重要极限公式的应用，核心思路是将给定表达式与标准形式$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a$进行对比，直接得出参数$a$的值。关键在于识别题目中的$a$对应项，并利用对数近似或变量替换等方法验证结果。

方法一：直接应用重要极限公式

重要极限公式为：
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a$
题目中表达式为：
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^x$
对比可知，此处$a = 3$，因此极限值为$e^3$，即$e^k = e^3$，故$k = 3$。

方法二：对数近似法

对原式取自然对数：
$\ln \left( \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^x \right) = \lim_{x \to \infty} x \ln \left(1 + \frac{3}{x}\right)$
当$x \to \infty$时，$\frac{3}{x} \to 0$，利用近似$\ln(1 + y) \approx y$（$y \to 0$）：
$\lim_{x \to \infty} x \cdot \frac{3}{x} = 3$
因此原式极限为$e^3$，即$k = 3$。

方法三：洛必达法则

将极限转化为：
$\lim_{x \to \infty} x \ln \left(1 + \frac{3}{x}\right) = \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1 + 3t)}{t} \quad \text{（令$t = \frac{1}{x}$）}$
应用洛必达法则：
$\lim_{t \to 0} \frac{3}{1 + 3t} = 3$
因此原式极限为$e^3$，即$k = 3$。