2、求二元函数求 (x,y)=(x)^3+(y)^3-3xy 的极值。

步骤 1：求偏导数
首先，我们需要求出函数 $f(x,y)={x}^{3}+{y}^{3}-3xy$ 的偏导数。对于 $x$ 的偏导数，我们有：
$$
f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 3y
$$
对于 $y$ 的偏导数，我们有：
$$
f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2 - 3x
$$
步骤 2：求驻点
为了找到函数的极值点，我们需要解方程组 $f_x = 0$ 和 $f_y = 0$。即：
$$
\begin{cases}
3x^2 - 3y = 0 \\
3y^2 - 3x = 0
\end{cases}
$$
解这个方程组，我们得到两个解：
$$
\begin{cases}
x = 0 \\
y = 0
\end{cases}
$$
和
$$
\begin{cases}
x = 1 \\
y = 1
\end{cases}
$$
步骤 3：判断极值
为了判断这些点是否为极值点，我们需要计算二阶偏导数，并使用二阶偏导数的判别式 $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$。首先，我们计算二阶偏导数：
$$
f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6x
$$
$$
f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 6y
$$
$$
f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -3
$$
对于点 $(0,0)$，我们有：
$$
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 0 \cdot 0 - (-3)^2 = -9 < 0
$$
因此，点 $(0,0)$ 不是极值点。
对于点 $(1,1)$，我们有：
$$
D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 6 \cdot 6 - (-3)^2 = 36 - 9 = 27 > 0
$$
并且 $f_{xx} = 6 > 0$，因此点 $(1,1)$ 是极小值点。