设 f(x) = (e^x - b)/((x - a)(x - b)) 有无穷间断点 x = e，可去间断点 x = 1，则 (a, b) = ____。

我们来逐步分析题目：

题目给出函数：

$f(x) = \frac{e^x - b}{(x - a)(x - b)}$

并给出两个条件：

1. $ f(x) $ 在 $ x = e $ 处有无穷间断点；
2. $ f(x) $ 在 $ x = 1 $ 处有可去间断点。

要求确定 $ (a, b) $ 的值。

第一步：理解间断点的类型

1. 无穷间断点

若 $ x = c $ 是无穷间断点，说明当 $ x \to c $ 时，函数 $ f(x) \to \infty $ 或 $ -\infty $，通常是因为分母为零而分子不为零。

2. 可去间断点

若 $ x = c $ 是可去间断点，说明极限 $ \lim_{x \to c} f(x) $ 存在，但函数在该点无定义或值不等于极限。这通常是因为分子和分母在 $ x = c $ 处同时为零（即有公因式），可以通过约去因式“修复”函数。

第二步：利用可去间断点 $ x = 1 $

题目说 $ x = 1 $ 是可去间断点。

这意味着：

• 函数在 $ x = 1 $ 处无定义（即分母为零）；
• 但极限存在，所以分子在 $ x = 1 $ 处也应为零（否则会是无穷间断点）；
• 即：分子和分母在 $ x = 1 $ 处都为零，有公因式 $ (x - 1) $。

分母为零：

分母是 $ (x - a)(x - b) $，在 $ x = 1 $ 处为零，说明：

$(1 - a)(1 - b) = 0 \Rightarrow a = 1 \quad \text{或} \quad b = 1$

分子为零：

分子是 $ e^x - b $，在 $ x = 1 $ 处为零：

$e^1 - b = 0 \Rightarrow b = e$

注意：这里得到 $ b = e $。

但刚才说 $ a = 1 $ 或 $ b = 1 $，而这里 $ b = e \ne 1 $，所以必须是：

$a = 1$

所以目前我们得到：

$a = 1, \quad b = e$

但我们还要验证是否满足另一个条件：在 $ x = e $ 处是无穷间断点。

第三步：检查 $ x = e $ 是否为无穷间断点

现在我们假设 $ a = 1 $, $ b = e $，代入函数：

$f(x) = \frac{e^x - e}{(x - 1)(x - e)}$

我们看 $ x = e $ 处的情况：

• 分母：$ (x - 1)(x - e) $，当 $ x \to e $，分母趋于 0；
• 分子：$ e^x - e $，当 $ x \to e $，$ e^x \to e^e $，所以 $ e^x - e \to e^e - e \ne 0 $（因为 $ e^e \gg e $）

所以分子趋于 $ e^e - e \ne 0 $，分母趋于 0，因此：

$\lim_{x \to e} f(x) = \infty \quad \text{或} \quad -\infty$

即 $ x = e $ 是无穷间断点，符合条件！

第四步：验证可去间断点 $ x = 1 $

再看 $ x = 1 $：

• 分母：$ (x - 1)(x - e) $，在 $ x = 1 $ 为零；
• 分子：$ e^x - e $，在 $ x = 1 $ 时为 $ e^1 - e = 0 $

所以分子分母都为零，可能可去。

我们计算极限：

$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{e^x - e}{(x - 1)(x - e)}$

令 $ x \to 1 $，分母中 $ (x - e) \to (1 - e) $，是常数；而 $ (x - 1) \to 0 $，分子 $ e^x - e \to 0 $。

我们可以拆开：

$= \lim_{x \to 1} \frac{e^x - e}{x - 1} \cdot \frac{1}{x - e}$

注意到 $ \frac{e^x - e}{x - 1} = \frac{e^x - e^1}{x - 1} \to (e^x)'|_{x=1} = e^1 = e $

而 $ \frac{1}{x - e} \to \frac{1}{1 - e} $

所以极限为：

$e \cdot \frac{1}{1 - e} = \frac{e}{1 - e}$

存在，说明是可去间断点，符合条件。

结论：

我们得到：

• $ a = 1 $
• $ b = e $

所以：

$(a, b) = (1, e)$

最终答案：

$\boxed{(1,\ e)}$