题目

2.曲线y=sqrt[3](x^3-3x^2+1)的渐近线方程为_____(2025-12数二)

2.曲线$y=\sqrt[3]{x^{3}-3x^{2}+1}$的渐近线方程为_____(2025-12数二)

题目解答

答案

为了找到曲线 $ y = \sqrt[3]{x^3 - 3x^2 + 1} $ 的渐近线方程，我们需要分析当 $ x $ 趋向于无穷大时 $ y $ 的行为。渐近线通常是一个线性函数，形式为 $ y = ax + b $。我们可以通过计算 $ \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} $ 来找到 $ a $，然后通过计算 $ \lim_{x \to \infty} (y - ax) $ 来找到 $ b $。 首先，我们找到 $ a $： \[ a = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{x^3 - 3x^2 + 1}}{x}. \] 为了简化极限内的表达式，我们可以从立方根内提取 $ x^3 $： \[ a = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{x^3(1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3})}}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt[3]{1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3}}}{x} = \lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3}}. \] 当 $ x $ 趋向于无穷大时，项 $ \frac{3}{x} $ 和 $ \frac{1}{x^3} $ 趋向于0，因此我们有： \[ a = \sqrt[3]{1} = 1. \] 现在，我们找到 $ b $： \[ b = \lim_{x \to \infty} (y - ax) = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt[3]{x^3 - 3x^2 + 1} - x \right). \] 为了简化这个极限，我们可以使用近似 $ \sqrt[3]{1 + u} \approx 1 + \frac{u}{3} $ 对于小的 $ u $。设 $ u = -\frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} $，则： \[ \sqrt[3]{x^3 - 3x^2 + 1} = x \sqrt[3]{1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3}} \approx x \left( 1 - \frac{1}{3} \left( \frac{3}{x} - \frac{1}{x^3} \right) \right) = x \left( 1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{3x^3} \right) = x - 1 + \frac{1}{3x^2}. \] 当 $ x $ 趋向于无穷大时，项 $ \frac{1}{3x^2} $ 趋向于0，因此我们有： \[ b = \lim_{x \to \infty} \left( x - 1 + \frac{1}{3x^2} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \left( -1 + \frac{1}{3x^2} \right) = -1. \] 因此，曲线的渐近线方程为： \[ y = ax + b = x - 1. \] 最终答案是： \[ \boxed{y = x - 1}. \]

解析

考查要点：本题主要考查曲线渐近线的求解方法，特别是斜渐近线的计算。需要掌握极限的计算技巧以及多项式展开的近似方法。

解题核心思路：

  1. 确定斜率：通过计算 $\lim_{x \to \infty} \frac{y}{x}$ 得到渐近线的斜率 $a$。
  2. 确定截距：通过计算 $\lim_{x \to \infty} (y - ax)$ 得到渐近线的截距 $b$。
  3. 多项式展开近似：对被开方的多项式进行变形和展开，简化极限计算。

破题关键点：

  • 提取主部：将被开方的多项式 $x^3 - 3x^2 + 1$ 写成 $x^3\left(1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3}\right)$，从而分离出主导项。
  • 泰勒展开近似：利用三次根号的展开式 $\sqrt[3]{1 + u} \approx 1 + \frac{u}{3}$（当 $u$ 很小），简化极限计算。

步骤1：求渐近线的斜率 $a$
计算 $\lim_{x \to \infty} \frac{y}{x}$：
$a = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{x^3 - 3x^2 + 1}}{x} = \lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3}} = 1.$

步骤2：求渐近线的截距 $b$
计算 $\lim_{x \to \infty} (y - ax)$：
$\begin{aligned}\sqrt[3]{x^3 - 3x^2 + 1} &= x \sqrt[3]{1 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3}} \\&\approx x \left(1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{3x^3}\right) \\&= x - 1 + \frac{1}{3x^2}.\end{aligned}$
因此，
$b = \lim_{x \to \infty} \left( x - 1 + \frac{1}{3x^2} - x \right) = -1.$

结论：渐近线方程为 $y = x - 1$。