题目

15 填空 (3分) 设函数f(x,y)=(y-1)arctansqrt(x)-e^xycos(pi y)，则偏导数f_(x)^prime(0,1)=（）

15 填空 (3分) 设函数$f(x,y)=(y-1)\arctan\sqrt{x}-e^{xy}\cos(\pi y)$，则偏导数$f_{x}^{\prime}(0,1)=（）$

题目解答

答案

为了找到函数 $ f(x, y) = (y-1)\arctan\sqrt{x} - e^{xy}\cos(\pi y) $ 的偏导数 $ f_x'(0,1) $，我们需要对 $ f $ 关于 $ x $ 求偏导，然后在点 $ (0,1) $ 处求值。 首先，我们对 $ f(x, y) $ 关于 $ x $ 求偏导： \[ f_x' = \frac{\partial}{\partial x} \left[ (y-1)\arctan\sqrt{x} - e^{xy}\cos(\pi y) \right]. \] 我们可以将这个表达式分解为两部分： \[ f_x' = \frac{\partial}{\partial x} \left[ (y-1)\arctan\sqrt{x} \right] - \frac{\partial}{\partial x} \left[ e^{xy}\cos(\pi y) \right]. \] 对于第一部分，我们使用乘积法则： \[ \frac{\partial}{\partial x} \left[ (y-1)\arctan\sqrt{x} \right] = (y-1) \frac{\partial}{\partial x} \left[ \arctan\sqrt{x} \right]. \] $ \arctan\sqrt{x} $ 关于 $ x $ 的导数是： \[ \frac{\partial}{\partial x} \left[ \arctan\sqrt{x} \right] = \frac{1}{1+(\sqrt{x})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}. \] 因此，我们有： \[ (y-1) \frac{\partial}{\partial x} \left[ \arctan\sqrt{x} \right] = (y-1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}. \] 对于第二部分，我们注意到 $ \cos(\pi y) $ 关于 $ x $ 是常数，所以： \[ \frac{\partial}{\partial x} \left[ e^{xy}\cos(\pi y) \right] = \cos(\pi y) \frac{\partial}{\partial x} \left[ e^{xy} \right] = \cos(\pi y) \cdot e^{xy} \cdot y = y e^{xy} \cos(\pi y). \] 将所有部分放在一起，我们得到： \[ f_x' = (y-1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)} - y e^{xy} \cos(\pi y). \] 现在，我们需要在点 $ (0,1) $ 处求这个表达式的值： \[ f_x'(0,1) = (1-1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{0}(1+0)} - 1 \cdot e^{0 \cdot 1} \cos(\pi \cdot 1). \] 第一项是 $ 0 \cdot \frac{1}{0} $，在直接代入时是不确定的，但既然 $ (y-1) $ 是零，整个项都是零。第二项是： \[ -1 \cdot 1 \cdot (-1) = 1. \] 因此，我们有： \[ f_x'(0,1) = 0 + 1 = 1. \] 答案是： \[ \boxed{1}. \]

解析

考查要点：本题主要考查二元函数的偏导数计算，特别是对含有反三角函数、指数函数和三角函数的复合函数求导的能力，以及代入特定点时的化简技巧。

解题核心思路：

  1. 分项求导：将函数拆分为两个部分，分别对$x$求偏导。
  2. 处理特殊点：代入点$(0,1)$时，注意分子为零导致的项自动消去，避免直接代入分母为零的错误。

破题关键点：

  • 第一项的简化：当$y=1$时，$(y-1)=0$，使得第一项整体为零，无需计算分母部分。
  • 第二项的符号处理：注意原式中的负号对求导结果的影响，避免符号错误。

函数$f(x,y)=(y-1)\arctan\sqrt{x}-e^{xy}\cos(\pi y)$，求$f_x'(0,1)$。

步骤1：对$x$求偏导

将函数分为两部分：

  1. 第一部分：$(y-1)\arctan\sqrt{x}$

    • 对$x$求导：
      $\frac{\partial}{\partial x} \left[ (y-1)\arctan\sqrt{x} \right] = (y-1) \cdot \frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{y-1}{2\sqrt{x}(1+x)}$

  2. 第二部分：$-e^{xy}\cos(\pi y)$

    • 对$x$求导：
      $\frac{\partial}{\partial x} \left[ -e^{xy}\cos(\pi y) \right] = -\cos(\pi y) \cdot y e^{xy} = -y e^{xy} \cos(\pi y)$

步骤2：合并偏导数表达式

$f_x'(x,y) = \frac{y-1}{2\sqrt{x}(1+x)} - y e^{xy} \cos(\pi y)$

步骤3：代入点$(0,1)$

  1. 第一项：当$y=1$时，$(y-1)=0$，因此第一项为$0$，无需计算分母。
  2. 第二项：代入$x=0$，$y=1$：
    $-1 \cdot e^{0 \cdot 1} \cos(\pi \cdot 1) = -1 \cdot 1 \cdot (-1) = 1$

最终结果：
$f_x'(0,1) = 0 + 1 = 1$