题目

41.求极限lim_(xto0)(2-frac(sin2x)/(x))((mathrm{e)^x-1)arcsin x}

41.求极限$\lim_{x\to0}\frac{2-\frac{\sin2x}{x}}{(\mathrm{e}^{x}-1)\arcsin x}$

题目解答

答案

为了求极限 $\lim_{x\to0}\frac{2-\frac{\sin2x}{x}}{(\mathrm{e}^{x}-1)\arcsin x}$，我们首先需要对分子和分母进行分析和简化。 ### 步骤1: 简化分子 分子是 $2 - \frac{\sin 2x}{x}$。利用 $\sin 2x$ 的泰勒展开式，我们知道： \[ \sin 2x = 2x - \frac{(2x)^3}{3!} + O(x^5) = 2x - \frac{8x^3}{6} + O(x^5) = 2x - \frac{4x^3}{3} + O(x^5). \] 因此， \[ \frac{\sin 2x}{x} = \frac{2x - \frac{4x^3}{3} + O(x^5)}{x} = 2 - \frac{4x^2}{3} + O(x^4). \] 所以，分子可以写成： \[ 2 - \frac{\sin 2x}{x} = 2 - \left(2 - \frac{4x^2}{3} + O(x^4)\right) = \frac{4x^2}{3} + O(x^4). \] ### 步骤2: 简化分母 分母是 $(\mathrm{e}^x - 1)\arcsin x$。利用 $\mathrm{e}^x$ 和 $\arcsin x$ 的泰勒展开式，我们知道： \[ \mathrm{e}^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^3), \] \[ \mathrm{e}^x - 1 = x + \frac{x^2}{2} + O(x^3), \] \[ \arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + O(x^5). \] 因此，分母可以写成： \[ (\mathrm{e}^x - 1)\arcsin x = \left(x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)\right)\left(x + \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right). \] 展开这个乘积，我们得到： \[ (\mathrm{e}^x - 1)\arcsin x = x^2 + \frac{x^3}{6} + \frac{x^3}{2} + O(x^4) = x^2 + \frac{2x^3}{3} + O(x^4). \] ### 步骤3: 计算极限 现在，我们将简化的分子和分母代入原极限表达式： \[ \lim_{x\to0}\frac{2-\frac{\sin2x}{x}}{(\mathrm{e}^{x}-1)\arcsin x} = \lim_{x\to0}\frac{\frac{4x^2}{3} + O(x^4)}{x^2 + \frac{2x^3}{3} + O(x^4)}. \] 当 $x$ 趋于 0 时，高阶无穷小项 $O(x^4)$ 和 $O(x^3)$ 相比 $x^2$ 可以忽略，所以极限简化为： \[ \lim_{x\to0}\frac{\frac{4x^2}{3}}{x^2} = \lim_{x\to0}\frac{4}{3} = \frac{4}{3}. \] 因此，极限是 $\boxed{\frac{4}{3}}$。

解析

考查要点：本题主要考查利用泰勒展开式求解极限的方法，涉及三角函数、指数函数和反三角函数的展开技巧，以及极限运算中的高阶无穷小的处理。

解题核心思路：

  1. 分子部分：将$\sin2x$展开到足够阶数，化简后得到主要项；
  2. 分母部分：分别展开$\mathrm{e}^x -1$和$\arcsin x$，相乘后保留主要项；
  3. 整体化简：将分子和分母的主部代入原式，忽略高阶无穷小，直接求出极限值。

破题关键点：

  • 泰勒展开的阶数选择：需确保展开后的表达式能准确反映分子和分母的主部；
  • 高阶无穷小的舍去：在$x \to 0$时，高阶项对极限结果无影响。

步骤1：简化分子

利用$\sin2x$的泰勒展开式：
$\sin2x = 2x - \frac{(2x)^3}{3!} + O(x^5) = 2x - \frac{4x^3}{3} + O(x^5).$
因此，
$\frac{\sin2x}{x} = \frac{2x - \frac{4x^3}{3} + O(x^5)}{x} = 2 - \frac{4x^2}{3} + O(x^4).$
分子可化简为：
$2 - \frac{\sin2x}{x} = 2 - \left(2 - \frac{4x^2}{3} + O(x^4)\right) = \frac{4x^2}{3} + O(x^4).$

步骤2：简化分母

展开$\mathrm{e}^x -1$和$\arcsin x$：
$\mathrm{e}^x -1 = x + \frac{x^2}{2} + O(x^3), \quad \arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + O(x^5).$
分母相乘后展开：
$\begin{aligned}(\mathrm{e}^x -1)\arcsin x &= \left(x + \frac{x^2}{2} + O(x^3)\right)\left(x + \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right) \\&= x^2 + \frac{x^3}{2} + O(x^4).\end{aligned}$

步骤3：计算极限

将分子和分母的主部代入原式：
$\lim_{x\to0}\frac{\frac{4x^2}{3} + O(x^4)}{x^2 + \frac{x^3}{2} + O(x^4)} = \lim_{x\to0}\frac{\frac{4x^2}{3}}{x^2} = \frac{4}{3}.$