题目
4.(判断题，10分)L为xoy平面上的单位圆周，则积分int_(路上)(xsin y-y^2)dx+((x^2)/(2)cos y-2xy)dy=0。( )A. 对B. 错
4.(判断题，10分)L为xoy平面上的单位圆周，则积分$\int_{路上}(x\sin y-y^{2})dx+(\frac{x^{2}}{2}\cos y-2xy)dy=0$。( )
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：定义被积函数
设 $P = x \sin y - y^2$，$Q = \frac{x^2}{2} \cos y - 2xy$。
步骤 2：计算偏导数
计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$，得到
\[ \frac{\partial Q}{\partial x} = x \cos y - 2y, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = x \cos y - 2y. \]
步骤 3：应用格林公式
根据格林公式，有
\[ \int_{L} P \, dx + Q \, dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA. \]
步骤 4：计算二重积分
由于 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$，所以
\[ \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA = \iint_{D} 0 \, dA = 0. \]
步骤 5：验证积分的对称性
注意到被积函数关于 $y$ 是奇函数，且积分曲线关于 $x$ 轴对称，故积分为零。
设 $P = x \sin y - y^2$，$Q = \frac{x^2}{2} \cos y - 2xy$。
步骤 2：计算偏导数
计算 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$，得到
\[ \frac{\partial Q}{\partial x} = x \cos y - 2y, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = x \cos y - 2y. \]
步骤 3：应用格林公式
根据格林公式，有
\[ \int_{L} P \, dx + Q \, dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA. \]
步骤 4：计算二重积分
由于 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$，所以
\[ \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA = \iint_{D} 0 \, dA = 0. \]
步骤 5：验证积分的对称性
注意到被积函数关于 $y$ 是奇函数，且积分曲线关于 $x$ 轴对称，故积分为零。