设两个随机变量X和Y相互独立同分布 ，且 P(X=-1) = P(Y=-1) = (1)/(3) ，P(X=1) = P(Y=1) = (2)/(3) ，则下列各式子中成立的是() A P(X=Y) = (5)/(9) B P(XY=1) = (4)/(9) C P(X+Y=0) = (3)/(9) D P(X=Y) = (1)/(2)

为了解决这个问题，我们需要计算给定的 $X$ 和 $Y$ 的概率，然后检查哪个给定的选项是正确的。让我们从逐步计算每个概率开始。 1. **计算 $P\{X = Y\}$:** 由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立同分布，$X = Y$ 有以下两种可能的情况： - $X = -1$ 和 $Y = -1$ - $X = 1$ 和 $Y = 1$ 每种情况的概率为： \[ P\{X = -1\}P\{Y = -1\} = \left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{9} \] \[ P\{X = 1\}P\{Y = 1\} = \left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{9} \] 将这些概率相加得到： \[ P\{X = Y\} = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \] 2. **计算 $P\{XY = 1\}$:** 乘积 $XY = 1$ 有以下两种可能的情况： - $X = -1$ 和 $Y = -1$ - $X = 1$ 和 $Y = 1$ 这些是与 $P\{X = Y\}$ 相同的情况，因此： \[ P\{XY = 1\} = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \] 3. **计算 $P\{X + Y = 0\}$:** 和 $X + Y = 0$ 有以下两种可能的情况： - $X = -1$ 和 $Y = 1$ - $X = 1$ 和 $Y = -1$ 每种情况的概率为： \[ P\{X = -1\}P\{Y = 1\} = \left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{9} \] \[ P\{X = 1\}P\{Y = -1\} = \left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{9} \] 将这些概率相加得到： \[ P\{X + Y = 0\} = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9} \] 现在，让我们检查给定的选项： - 选项 A: $P\{X = Y\} = \frac{5}{9}$ (正确) - 选项 B: $P\{XY = 1\} = \frac{4}{9}$ (错误) - 选项 C: $P\{X + Y = 0\} = \frac{3}{9}$ (错误) - 选项 D: $P\{X = Y\} = \frac{1}{2}$ (错误) 正确答案是 $\boxed{A}$。