题目
设 X_1, X_2, ldots, X_n, ldots 为独立同分布的随机变量序列，且 X_i 服从参数为 lambda (lambda > 0) 的指数分布，则有() 其中 X_i 的概率密度函数是 f(x_i)= } lambda e^-lambda x_i & x_i > 0 0 & (其他) ^n X_i - lambda)/(sqrt(n lambda)) leq x)= Phi(x)
设 $X_1, X_2, \ldots, X_n, \ldots$ 为独立同分布的随机变量序列，且 $X_i$ 服从参数为 $\lambda (\lambda > 0)$ 的指数分布，则有()
其中
$X_i$ 的概率密度函数是 $f(x_i)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x_i} & x_i > 0 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$
A $\lim_{n \to \infty} P\left(\frac{\lambda \sum_{i=1}^n X_i - n}{\sqrt{n}} \leq x\right)= \Phi(x)$
B $\lim_{n \to 0} P\left(\frac{\sum_{i=1}^n X_i - n}{\sqrt{n}} \leq x\right)= \Phi(x)$
C $\lim_{n \to \infty} P\left(\frac{\sum_{i=1}^n X_i - \lambda}{\lambda \sqrt{n}} \leq x\right)= \Phi(x)$
D $\lim_{n \to \infty} P\left(\frac{\sum_{i=1}^n X_i - \lambda}{\sqrt{n \lambda}} \leq x\right)= \Phi(x)$
题目解答
答案
根据中心极限定理，对于独立同分布的随机变量序列 $X_1, X_2, \cdots, X_n$，当 $n \to \infty$ 时，标准化和趋近于标准正态分布。已知 $X_i$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，均值 $\mu = \frac{1}{\lambda}$，方差 $\sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2}$。
标准化形式为：
\[
\lim_{n \to \infty} P\left( \frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \le x \right) = \Phi(x)
\]
代入 $\mu$ 和 $\sigma$：
\[
\lim_{n \to \infty} P\left( \frac{\sum_{i=1}^n X_i - \frac{n}{\lambda}}{\frac{1}{\lambda}\sqrt{n}} \le x \right) = \Phi(x)
\]
化简得：
\[
\lim_{n \to \infty} P\left( \frac{\lambda \sum_{i=1}^n X_i - n}{\sqrt{n}} \le x \right) = \Phi(x)
\]
与选项 A 相符，其他选项均不满足该形式。
**答案：** $\boxed{A}$