int sqrt (x)sin sqrt (x)dx;

考查要点：本题主要考查分部积分法和变量替换法的综合应用，需要学生灵活处理根号函数与三角函数的乘积积分。

解题核心思路：

1. 变量替换：令 $t = \sqrt{x}$，将原积分转化为关于 $t$ 的多项式与三角函数的乘积积分，简化计算。
2. 分部积分法：对转化后的积分分两次应用分部积分，逐步降低多项式次数，最终将积分转化为可直接计算的形式。

破题关键点：

• 选择合适的替换变量，将根号函数转化为多项式形式。
• 合理选择分部积分中的 $u$ 和 $dv$，确保每次分部后积分复杂度降低。

变量替换：
令 $t = \sqrt{x}$，则 $x = t^2$，$dx = 2t \, dt$。原积分变为：
$\int \sqrt{x} \sin \sqrt{x} \, dx = \int t \cdot \sin t \cdot 2t \, dt = 2 \int t^2 \sin t \, dt.$

第一次分部积分：
设 $u = t^2$，$dv = \sin t \, dt$，则 $du = 2t \, dt$，$v = -\cos t$。
应用分部积分公式：
$\begin{aligned}2 \int t^2 \sin t \, dt &= 2 \left[ -t^2 \cos t + \int 2t \cos t \, dt \right] \\&= -2t^2 \cos t + 4 \int t \cos t \, dt.\end{aligned}$

第二次分部积分：
对 $\int t \cos t \, dt$，设 $u = t$，$dv = \cos t \, dt$，则 $du = dt$，$v = \sin t$。
继续计算：
$\begin{aligned}\int t \cos t \, dt &= t \sin t - \int \sin t \, dt \\&= t \sin t + \cos t.\end{aligned}$

合并结果：
将两次分部积分的结果代入原式：
$\begin{aligned}-2t^2 \cos t + 4 \left( t \sin t + \cos t \right) + C &= -2t^2 \cos t + 4t \sin t + 4 \cos t + C.\end{aligned}$

回代变量：
将 $t = \sqrt{x}$ 代回，最终结果为：
$-2x \cos \sqrt{x} + 4 \sqrt{x} \sin \sqrt{x} + 4 \cos \sqrt{x} + C.$