lim_(x to 0) (1 + (6)/(x))^x = ((D))A. eB. e^2C. e^-6D. e^6

本题考查重要极限公式$\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e$的应用，解题思路是通过换元法将给定的极限式子变形为符合重要极限公式的形式，然后进行计算。

1. 设$t=\frac{x}{6}$，则$x = 6t$。
   • 当$x\to0$时，$t=\frac{x}{6}\to0$。
2. 将$x = 6t$代入原式$\lim_{x \to 0} \left(1 + \frac{6}{x}\right)^x$中：
   • 可得$\lim_{t \to 0} \left(1 + \frac{6}{6t}\right)^{6t}$。
   • 对$\left(1 + \frac{6}{6t}\right)^{6t}$进行化简，$\frac{6}{6t}=\frac{1}{t}$，则式子变为$\lim_{t \to 0} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{6t}$。
3. 根据指数运算法则$a^{bc}=(a^b)^c$，对$\left(1 + \frac{1}{t}\right)^{6t}$进行变形：
   • $\left(1 + \frac{1}{t}\right)^{6t}=\left[\left(1 + \frac{1}{t}\right)^{t}\right]^6$。
   • 所以$\lim_{t \to 0} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{6t}=\lim_{t \to 0}\left[\left(1 + \frac{1}{t}\right)^{t}\right]^6$。
4. 令$u = \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{t}$，根据重要极限公式$\lim_{t \to \infty}(1 + \frac{1}{t})^t = e$，当$t\to0$时，$\lim_{t \to 0}\left(1 + \frac{1}{t}\right)^{t}=e$。
   • 则$\lim_{t \to 0}\left[\left(1 + \frac{1}{t}\right)^{t}\right]^6=\left[\lim_{t \to 0}\left(1 + \frac{1}{t}\right)^{t}\right]^6$。
   • 把$\lim_{t \to 0}\left(1 + \frac{1}{t}\right)^{t}=e$代入上式，得到$e^6$。