题目
当x=1时，函数f（x）=alnx+(b)/(x)取得最大值-2，则f′（2）=（ ） A. -1 B. -(1)/(2) C. (1)/(2) D. 1
当x=1时，函数f（x）=alnx+$\frac{b}{x}$取得最大值-2，则f′（2）=（ ）
- A. -1
- B. -$\frac{1}{2}$
- C. $\frac{1}{2}$
- D. 1
题目解答
答案
解：由题意f（1）=b=-2，则f（x）=alnx-$\frac{2}{x}$，
则f′（x）=$\frac{a}{x}+\frac{2}{{x}^{2}}=\frac{ax+2}{{x}^{2}}$，
∵当x=1时函数取得最值，可得x=1也是函数的一个极值点，
∴f′（1）=a+2=0，即a=-2．
∴f′（x）=$\frac{-2x+2}{{x}^{2}}$，
易得函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
故x=1处，函数取得极大值，也是最大值，
则f′（2）=$\frac{-2×2+2}{{2}^{2}}=-\frac{1}{2}$．
故选：B．
则f′（x）=$\frac{a}{x}+\frac{2}{{x}^{2}}=\frac{ax+2}{{x}^{2}}$，
∵当x=1时函数取得最值，可得x=1也是函数的一个极值点，
∴f′（1）=a+2=0，即a=-2．
∴f′（x）=$\frac{-2x+2}{{x}^{2}}$，
易得函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
故x=1处，函数取得极大值，也是最大值，
则f′（2）=$\frac{-2×2+2}{{2}^{2}}=-\frac{1}{2}$．
故选：B．
解析
步骤 1：确定函数f(x)在x=1时的值
由题意知，当x=1时，函数f(x)取得最大值-2，即f(1)=-2。代入f(x)的表达式，得到f(1)=aln(1)+b=-2，因为ln(1)=0，所以b=-2。
步骤 2：求导数f'(x)
根据f(x)的表达式f(x)=alnx+$\frac{b}{x}$，求导得到f'(x)=$\frac{a}{x}-\frac{b}{{x}^{2}}$。
步骤 3：确定a的值
由于x=1是函数f(x)的极值点，所以f'(1)=0。代入f'(x)的表达式，得到f'(1)=$\frac{a}{1}-\frac{b}{{1}^{2}}$=a-b=0。因为b=-2，所以a=-2。
步骤 4：计算f'(2)
将a=-2，b=-2代入f'(x)的表达式，得到f'(x)=$\frac{-2}{x}+\frac{2}{{x}^{2}}$。代入x=2，得到f'(2)=$\frac{-2}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$=-1+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$。
由题意知，当x=1时，函数f(x)取得最大值-2，即f(1)=-2。代入f(x)的表达式，得到f(1)=aln(1)+b=-2，因为ln(1)=0，所以b=-2。
步骤 2：求导数f'(x)
根据f(x)的表达式f(x)=alnx+$\frac{b}{x}$，求导得到f'(x)=$\frac{a}{x}-\frac{b}{{x}^{2}}$。
步骤 3：确定a的值
由于x=1是函数f(x)的极值点，所以f'(1)=0。代入f'(x)的表达式，得到f'(1)=$\frac{a}{1}-\frac{b}{{1}^{2}}$=a-b=0。因为b=-2，所以a=-2。
步骤 4：计算f'(2)
将a=-2，b=-2代入f'(x)的表达式，得到f'(x)=$\frac{-2}{x}+\frac{2}{{x}^{2}}$。代入x=2，得到f'(2)=$\frac{-2}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}$=-1+$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$。