24.主观题(10分)设向量组alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3)线性无关，且beta=k_(1)alpha_(1)+k_(2)alpha_(2)+k_(3)alpha_(3)证明：若k_(1)neq0，则向量组beta,alpha_(2),alpha_(3)也线性无关

考查要点：本题主要考查向量组线性无关性的证明方法，需要利用线性组合的性质和线性无关的定义进行推导。

解题核心思路：
要证明向量组$\beta, \alpha_2, \alpha_3$线性无关，需假设它们的线性组合等于零向量，进而推导出所有系数均为零。关键在于将$\beta$代入后，利用$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性无关的条件，通过方程组求解系数。

破题关键点：

1. 代入$\beta$的表达式，展开线性组合；
2. 整理后利用$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性无关，得到系数方程组；
3. 结合$k_1 \neq 0$，逐步解出所有系数为零。

步骤1：假设线性组合为零
设存在实数$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$，使得：
$\lambda_1 \beta + \lambda_2 \alpha_2 + \lambda_3 \alpha_3 = 0$

步骤2：代入$\beta$的表达式
将$\beta = k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + k_3 \alpha_3$代入上式，得：
$\lambda_1 (k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + k_3 \alpha_3) + \lambda_2 \alpha_2 + \lambda_3 \alpha_3 = 0$

步骤3：整理同类项
展开并合并同类项：
$\lambda_1 k_1 \alpha_1 + (\lambda_1 k_2 + \lambda_2) \alpha_2 + (\lambda_1 k_3 + \lambda_3) \alpha_3 = 0$

步骤4：利用$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性无关
由于$\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$线性无关，其系数必须全为零：
$\begin{cases}\lambda_1 k_1 = 0 \\\lambda_1 k_2 + \lambda_2 = 0 \\\lambda_1 k_3 + \lambda_3 = 0\end{cases}$

步骤5：解方程组

• 由第一式：$k_1 \neq 0 \implies \lambda_1 = 0$
• 代入第二式：$\lambda_2 = 0$
• 代入第三式：$\lambda_3 = 0$

结论：$\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0$，故$\beta, \alpha_2, \alpha_3$线性无关。