题目

(简答题,8.0分)求矩阵A= (} 1& -2& 3& 2 3& -1& 5& -1 2& 1& 2& -3 ) .的秩,并求出其一个最高阶非零子式.

(简答题,8.0分)求矩阵的秩,并求出其一个最高阶非零子式.

题目解答

答案

1. 求矩阵的秩：

   对矩阵进行初等行变换：

     首先进行操作，得到。

      再进行，得到。

    此时可以看出矩阵的秩为2。

2. 求其一个最高阶非零子式：

    由于矩阵的秩为，所以最高阶非零子式为二阶子式。

    观察原矩阵，选取前两行前两列构成的二阶子式。

    计算这个二阶子式的值为。

所以矩阵的秩为，一个最高阶非零子式为。

解析

矩阵的秩是矩阵中非零子式的最高阶数，而最高阶非零子式则是该秩对应的子式。解题的核心思路是：

  1. 通过初等行变换将矩阵化为阶梯形，非零行的数量即为矩阵的秩；
  2. 寻找秩对应的子式，通常选择原矩阵中前r行前r列的子式（r为秩），验证其是否非零。

初等行变换求秩

  1. 初始矩阵：
    $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 2 \\ 3 & -1 & 5 & -1 \\ 2 & 1 & 2 & -3 \end{pmatrix}$

  2. 消元过程：

    • 操作 $r_2 - 3r_1$：第二行变为 $[0, 5, -4, -7]$；
    • 操作 $r_3 - 2r_1$：第三行变为 $[0, 5, -4, -7]$；
    • 操作 $r_3 - r_2$：第三行变为 $[0, 0, 0, 0]$。

  3. 阶梯形矩阵：
    $\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 2 \\ 0 & 5 & -4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
    非零行数为2，故矩阵的秩为 2。

寻找最高阶非零子式

  • 二阶子式：选择前两行前两列的子式：
    $\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = (1)(-1) - (-2)(3) = -1 + 6 = 5 \neq 0$
    因此，该子式为最高阶非零子式。