20. (3.0分) 由抛物线y=2x^2与直线y-2x=4所围成的图形的面积 第1空

为了求由抛物线 $ y = 2x^2 $ 与直线 $ y - 2x = 4 $ 所围成的图形的面积，我们首先需要找到这两个曲线的交点。将直线方程改写为 $ y = 2x + 4 $，然后将它与抛物线方程联立： \[ 2x^2 = 2x + 4 \] 将方程移项，得到一个标准的二次方程： \[ 2x^2 - 2x - 4 = 0 \] 可以简化为： \[ x^2 - x - 2 = 0 \] 接下来，我们解这个二次方程。使用求根公式 $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $，其中 $ a = 1 $, $ b = -1 $, $ c = -2 $： \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \] 这给出两个解： \[ x = \frac{4}{2} = 2 \quad \text{和} \quad x = \frac{-2}{2} = -1 \] 所以，交点的横坐标是 $ x = 2 $ 和 $ x = -1 $。将这些 $ x $-值代入直线方程 $ y = 2x + 4 $ 来找到对应的 $ y $-值： \[ \text{当 } x = 2, \quad y = 2 \cdot 2 + 4 = 8 \] \[ \text{当 } x = -1, \quad y = 2 \cdot (-1) + 4 = 2 \] 因此，交点坐标是 $ (2, 8) $ 和 $ (-1, 2) $。 接下来，我们计算由这两条曲线所围成的图形的面积。面积 $ A $ 可以通过在交点之间的区间 $[-1, 2]$ 上，对直线 $ y = 2x + 4 $ 和抛物线 $ y = 2x^2 $ 的差值进行积分： \[ A = \int_{-1}^{2} [(2x + 4) - 2x^2] \, dx \] 首先，我们找到被积函数： \[ (2x + 4) - 2x^2 = -2x^2 + 2x + 4 \] 现在，我们对这个函数进行积分： \[ A = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) \, dx \] 计算这个积分，我们得到： \[ A = \left[ -\frac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x \right]_{-1}^{2} \] 分别计算在 $ x = 2 $ 和 $ x = -1 $ 处的值： \[ \left( -\frac{2}{3} \cdot 2^3 + 2^2 + 4 \cdot 2 \right) = \left( -\frac{16}{3} + 4 + 8 \right) = \left( -\frac{16}{3} + \frac{12}{3} + \frac{24}{3} \right) = \frac{20}{3} \] \[ \left( -\frac{2}{3} \cdot (-1)^3 + (-1)^2 + 4 \cdot (-1) \right) = \left( \frac{2}{3} + 1 - 4 \right) = \left( \frac{2}{3} + \frac{3}{3} - \frac{12}{3} \right) = -\frac{7}{3} \] 将这两个值相减，得到面积 $ A $: \[ A = \frac{20}{3} - \left( -\frac{7}{3} \right) = \frac{20}{3} + \frac{7}{3} = \frac{27}{3} = 9 \] 因此，由抛物线 $ y = 2x^2 $ 与直线 $ y - 2x = 4 $ 所围成的图形的面积是 $\boxed{9}$。