.21-23 一衍射光栅,每厘米200条透光缝,每条透光缝宽为 =2times (10)^-3cm ,在光栅后放-|||-一焦距 f=1m 的凸透镜,现以 lambda =600 mm(1 mm=(10)^-9m) 的单色平行光垂直照射光栅,求:-|||-(1)透光缝a的单缝衍射中央明条纹宽度为多少?-|||-(2)在该宽度内,有几个光栅衍射主极大?

考查要点：本题综合考查单缝衍射和光栅衍射的规律，需结合两者条件求解。

解题思路：

1. 单缝衍射中央明条纹宽度：利用公式 $\Delta y = \frac{2\lambda f}{a}$，注意单位换算。
2. 光栅主极大条件：需满足 $d \sin\theta = k\lambda$，其中 $d$ 为光栅常数。结合单缝衍射的中央明条纹角度范围，确定 $k$ 的可能取值。

破题关键：

• 单位统一：将缝宽 $a$、波长 $\lambda$ 转换为米制。
• 光栅常数计算：由“每厘米200条缝”推导 $d$。
• 角度范围限制：中央明条纹对应 $\sin\theta \leq \frac{\Delta y}{2f}$，据此筛选有效 $k$ 值。

第（1）题：单缝衍射中央明条纹宽度

公式代入

单缝衍射中央明条纹宽度公式为：
$\Delta y = \frac{2\lambda f}{a}$
其中：

• $\lambda = 600 \, \text{nm} = 600 \times 10^{-9} \, \text{m}$
• $f = 1 \, \text{m}$
• $a = 2 \times 10^{-3} \, \text{cm} = 2 \times 10^{-5} \, \text{m}$

计算过程

$\Delta y = \frac{2 \cdot (600 \times 10^{-9}) \cdot 1}{2 \times 10^{-5}} = \frac{1.2 \times 10^{-6}}{2 \times 10^{-5}} = 0.06 \, \text{m}$

第（2）题：光栅主极大数量

光栅常数计算

光栅常数 $d$ 为相邻两缝间距：
$d = \frac{1 \, \text{cm}}{200} = \frac{0.01 \, \text{m}}{200} = 5 \times 10^{-5} \, \text{m}$

角度范围限制

中央明条纹对应 $\sin\theta \leq \frac{\Delta y}{2f} = \frac{0.06}{2 \cdot 1} = 0.03$。

光栅方程约束

光栅主极大条件为：
$d \sin\theta = k\lambda \quad \Rightarrow \quad |k| \leq \frac{d \cdot \sin\theta_{\text{max}}}{\lambda}$
代入数值：
$|k| \leq \frac{(5 \times 10^{-5}) \cdot 0.03}{600 \times 10^{-9}} = \frac{1.5 \times 10^{-6}}{6 \times 10^{-7}} = 2.5$
因此，$k$ 的整数取值为 $0, \pm 1, \pm 2$，共 5个主极大。