25.(判断题,4.0分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)={}6x,0le xle yle 1,0,else.,则X,Y不独立.A 对B 错

本题考查二维随机变量独立性的判断，解题思路是先根据根据给定的联合概率密度函数求出边缘概率密度函数，再再判断联合概率密度函数是否等于两个边缘概率密度函数的乘积，若相等则随机变量独立，若不相等则不独立。

1. 计算$X$的边缘概率密度函数$f_X(x)$：
   根据边缘概率密度函数$f_X(x)$的计算公式为$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy$。
   已知$f(x,y)=\begin{cases}6x, & 0\leq x\leq y\leq 1\\0, & \text{else}\end{cases}$，根据$f(x,y)$的取值范围，当$0\leq x\leq 1$时，$y$的积分区间为$[x,1]$，则：
   $\begin{align*}f_X(x)&=\int_{x}^{1}6xdy\\&=6x\int_{x}^{1}dy\\&=6x\cdot(y\big|_{x}^{1})\\&=6x(1 - x)\end{align*}$
   当$x\lt0$或$x\gt1$时，$f(x,y)=0$，所以$1)\(f_X(x)=0$。
   综上，$f_X(x)=\begin{cases}6x(1 - x), & 0\leq x\leq 1\\0 & \text{else}\end{cases}$。
2. 计算$Y$的边缘概率密度函数$f_Y(y)$：
   边缘概率密度函数$f_Y(y)$的计算公式为$f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx$。
   根据$f(x,y)$的取值范围，当$0\leq y\leq1$时，$x$的积分区间为$[0,y]$，则：
   $\[\begin{align*}f_Y(y)&=\int_{0}^{y}6xdx\\&=6\int_{0}^{y}xdx\\&=6\cdot(\frac{1}{2}x^2\big|_{0}^{y})\\&=3y^2\end{align*}$
   当$y\lt0$或$y\gt1$时，$f(x,y)=0$，所以$f_Y(y)=0$。
   综上，$f_Y(y)=\begin{cases}3y^2, & 0\leq y\leq 1\\0 & \text{else}\end{cases}$。
3. 判断$X$和$Y$的独立性：
   若$X$和$Y$相互独立，则$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$。
   已知$f(x,y)=\begin{cases}6x, & 0\leq x\leq y\leq 1\\0 & \text{else}\end{cases}$，$f_X(x)=\begin{cases}6x(1 - x) & 0\leq x\leq 1\\0 & \text{else}\end{cases}$，$1)\(f_Y(y)=\begin{cases}3y^2 & 0\leq y\leq 1\\0 & \text{else}\end{cases}$。
   当$0\leq x\leq y\leq 1$时，$f_X(x)f_Y(y)=6x(1 - x)\cdot3y^2 = 18xy^2(1 - x)\neq f(x,y)=6x$。
   所以$X$和$Y$不独立，该判断题说法正确。