题目
二次型((x)_(1),(x)_(2),(x)_(3))=(({x)_(1)-(x)_(2))}^2+(({x)_(2)-(x)_(3))}^2+(({x)_(3)-(x)_(1))}^2的标准形为( ).A. ((x)_(1),(x)_(2),(x)_(3))=(({x)_(1)-(x)_(2))}^2+(({x)_(2)-(x)_(3))}^2+(({x)_(3)-(x)_(1))}^2 B.((x)_(1),(x)_(2),(x)_(3))=(({x)_(1)-(x)_(2))}^2+(({x)_(2)-(x)_(3))}^2+(({x)_(3)-(x)_(1))}^2C. ((x)_(1),(x)_(2),(x)_(3))=(({x)_(1)-(x)_(2))}^2+(({x)_(2)-(x)_(3))}^2+(({x)_(3)-(x)_(1))}^2D. ((x)_(1),(x)_(2),(x)_(3))=(({x)_(1)-(x)_(2))}^2+(({x)_(2)-(x)_(3))}^2+(({x)_(3)-(x)_(1))}^2.
二次型
的标准形为( ).
A. 
B.
C. 
D. 
.
题目解答
答案
本题考察二次型的标准化.
由配方法基本步骤，需要寻找
，使得
令
代入原式，得标准型，答案为A.
解析
步骤 1：展开二次型
首先，将二次型$f({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3})={({x}_{1}-{x}_{2})}^{2}+{({x}_{2}-{x}_{3})}^{2}+{({x}_{3}-{x}_{1})}^{2}$展开。
$f({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3})=({x}_{1}^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{2}^{2})+({x}_{2}^{2}-2{x}_{2}{x}_{3}+{x}_{3}^{2})+({x}_{3}^{2}-2{x}_{3}{x}_{1}+{x}_{1}^{2})$
步骤 2：合并同类项
合并同类项，得到二次型的矩阵表示。
$f({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3})=2{x}_{1}^{2}+2{x}_{2}^{2}+2{x}_{3}^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}-2{x}_{2}{x}_{3}-2{x}_{3}{x}_{1}$
步骤 3：标准化
通过配方法，寻找合适的线性变换，将二次型化为标准形。
令
$y_{1}=x_{1}-x_{2}$
$y_{2}=x_{2}-x_{3}$
$y_{3}=x_{3}-x_{1}$
代入原式，得标准型$f={{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+{{y}_{3}}^{2}$。
首先，将二次型$f({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3})={({x}_{1}-{x}_{2})}^{2}+{({x}_{2}-{x}_{3})}^{2}+{({x}_{3}-{x}_{1})}^{2}$展开。
$f({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3})=({x}_{1}^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{2}^{2})+({x}_{2}^{2}-2{x}_{2}{x}_{3}+{x}_{3}^{2})+({x}_{3}^{2}-2{x}_{3}{x}_{1}+{x}_{1}^{2})$
步骤 2：合并同类项
合并同类项，得到二次型的矩阵表示。
$f({x}_{1},{x}_{2},{x}_{3})=2{x}_{1}^{2}+2{x}_{2}^{2}+2{x}_{3}^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}-2{x}_{2}{x}_{3}-2{x}_{3}{x}_{1}$
步骤 3：标准化
通过配方法，寻找合适的线性变换，将二次型化为标准形。
令
$y_{1}=x_{1}-x_{2}$
$y_{2}=x_{2}-x_{3}$
$y_{3}=x_{3}-x_{1}$
代入原式，得标准型$f={{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+{{y}_{3}}^{2}$。