题目
7.[简答题]利用格林公式计算曲线积分oint_(L)(5x^4y-3y)dx+(x^5+4x)dy，其中L是圆周 x^2+y^2=9，方向为逆时针方向.
7.[简答题]利用格林公式计算曲线积分
$\oint_{L}(5x^{4}y-3y)dx+(x^{5}+4x)dy$，其中L是圆周 $x^{2}+y^{2}=9$，方向为逆时针方向.
题目解答
答案
为了利用格林公式计算曲线积分 $\oint_{L}(5x^{4}y-3y)dx+(x^{5}+4x)dy$，其中 $L$ 是圆周 $x^2 + y^2 = 9$，方向为逆时针方向，我们首先回顾格林公式。格林公式表明，对于一个正向、分段光滑、简单闭合曲线 $L$ 和由 $L$ 所围成的区域 $D$，如果 $P$ 和 $Q$ 在包含 $D$ 的开区域内具有连续的偏导数，那么
\[
\oint_{L} P \, dx + Q \, dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA.
\]
这里，$P(x, y) = 5x^4 y - 3y$ 和 $Q(x, y) = x^5 + 4x$。我们需要计算偏导数 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$。
\[
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^5 + 4x) = 5x^4 + 4,
\]
\[
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(5x^4 y - 3y) = 5x^4 - 3.
\]
现在，我们将这些代入格林公式的被积函数中：
\[
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (5x^4 + 4) - (5x^4 - 3) = 7.
\]
因此，曲线积分变为
\[
\oint_{L} (5x^4 y - 3y) \, dx + (x^5 + 4x) \, dy = \iint_{D} 7 \, dA.
\]
二重积分 $\iint_{D} 7 \, dA$ 简单地是区域 $D$ 的面积乘以 7。区域 $D$ 是一个半径为 3 的圆，所以圆的面积 $A$ 为
\[
A = \pi r^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi.
\]
因此，
\[
\iint_{D} 7 \, dA = 7 \cdot 9\pi = 63\pi.
\]
因此，曲线积分的值为
\[
\boxed{63\pi}.
\]
解析
步骤 1：应用格林公式
格林公式表明，对于一个正向、分段光滑、简单闭合曲线 $L$ 和由 $L$ 所围成的区域 $D$，如果 $P$ 和 $Q$ 在包含 $D$ 的开区域内具有连续的偏导数，那么 \[ \oint_{L} P \, dx + Q \, dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA. \] 这里，$P(x, y) = 5x^4 y - 3y$ 和 $Q(x, y) = x^5 + 4x$。我们需要计算偏导数 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$。
步骤 2：计算偏导数
\[\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^5 + 4x) = 5x^4 + 4,\]
\[\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(5x^4 y - 3y) = 5x^4 - 3.\]
步骤 3：代入格林公式
将偏导数代入格林公式的被积函数中：
\[\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (5x^4 + 4) - (5x^4 - 3) = 7.\]
因此，曲线积分变为
\[\oint_{L} (5x^4 y - 3y) \, dx + (x^5 + 4x) \, dy = \iint_{D} 7 \, dA.\]
步骤 4：计算二重积分
二重积分 $\iint_{D} 7 \, dA$ 简单地是区域 $D$ 的面积乘以 7。区域 $D$ 是一个半径为 3 的圆，所以圆的面积 $A$ 为
\[A = \pi r^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi.\]
因此，
\[\iint_{D} 7 \, dA = 7 \cdot 9\pi = 63\pi.\]
格林公式表明，对于一个正向、分段光滑、简单闭合曲线 $L$ 和由 $L$ 所围成的区域 $D$，如果 $P$ 和 $Q$ 在包含 $D$ 的开区域内具有连续的偏导数，那么 \[ \oint_{L} P \, dx + Q \, dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA. \] 这里，$P(x, y) = 5x^4 y - 3y$ 和 $Q(x, y) = x^5 + 4x$。我们需要计算偏导数 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial P}{\partial y}$。
步骤 2：计算偏导数
\[\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^5 + 4x) = 5x^4 + 4,\]
\[\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(5x^4 y - 3y) = 5x^4 - 3.\]
步骤 3：代入格林公式
将偏导数代入格林公式的被积函数中：
\[\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (5x^4 + 4) - (5x^4 - 3) = 7.\]
因此，曲线积分变为
\[\oint_{L} (5x^4 y - 3y) \, dx + (x^5 + 4x) \, dy = \iint_{D} 7 \, dA.\]
步骤 4：计算二重积分
二重积分 $\iint_{D} 7 \, dA$ 简单地是区域 $D$ 的面积乘以 7。区域 $D$ 是一个半径为 3 的圆，所以圆的面积 $A$ 为
\[A = \pi r^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi.\]
因此，
\[\iint_{D} 7 \, dA = 7 \cdot 9\pi = 63\pi.\]