4.设 =r(cos theta +isin theta ) .求 dfrac (1)(2) 的三角表示.

考查要点：本题主要考查复数三角形式的运算，特别是复数除法的三角表示形式。需要掌握复数的模、辐角运算规则，以及利用三角恒等式进行化简。

解题核心思路：

1. 复数除法的三角形式：若两个复数分别为 $z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)$ 和 $z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)$，则 $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \left[ \cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2) \right]$。
2. 单位虚数 $i$ 的三角形式：$i = \cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}$。
3. 标量乘法：复数乘以实数 $k$ 时，模变为原模的 $|k|$ 倍，辐角不变。

破题关键点：

• 将 $i$ 写成三角形式，再与 $\dfrac{1}{z}$ 结合，利用复数除法公式化简。

题目要求求 $\dfrac{i}{2z}$ 的三角表示（根据答案推断题目可能存在笔误，实际应为 $\dfrac{i}{2z}$）。

步骤分解：

1. 将 $i$ 写成三角形式

单位虚数 $i$ 的三角形式为：
$i = \cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}.$

2. 构造 $\dfrac{i}{z}$ 的表达式

根据复数除法公式，$\dfrac{i}{z}$ 的模为 $\dfrac{1}{r}$，辐角为 $\dfrac{\pi}{2} - \theta$，因此：
$\dfrac{i}{z} = \dfrac{1}{r} \left[ \cos\left( \dfrac{\pi}{2} - \theta \right) + i\sin\left( \dfrac{\pi}{2} - \theta \right) \right].$

3. 乘以 $\dfrac{1}{2}$

将 $\dfrac{i}{z}$ 乘以 $\dfrac{1}{2}$，模变为 $\dfrac{1}{2r}$，辐角不变，最终结果为：
$\dfrac{i}{2z} = \dfrac{1}{2r} \left[ \cos\left( \dfrac{\pi}{2} - \theta \right) + i\sin\left( \dfrac{\pi}{2} - \theta \right) \right].$