题目
设A为n阶矩阵,λ1和λ2是A的两个不同的特征值,x1,x2是分别属于λ1和λ2的特-|||-征向量.试证明 _(1)+(x)_(2) 不是A的特征向量.
题目解答
答案
解析
步骤 1：特征向量的定义
根据特征向量的定义，如果 $x_1$ 是矩阵 $A$ 的特征向量，那么存在一个特征值 $\lambda_1$ 使得 $Ax_1 = \lambda_1 x_1$。同理，如果 $x_2$ 是矩阵 $A$ 的特征向量，那么存在一个特征值 $\lambda_2$ 使得 $Ax_2 = \lambda_2 x_2$。
步骤 2：假设 ${x}_{1}+{x}_{2}$ 是A的特征向量
假设 ${x}_{1}+{x}_{2}$ 是A的特征向量，那么存在一个特征值 $\lambda$ 使得 $A({x}_{1}+{x}_{2}) = \lambda({x}_{1}+{x}_{2})$。
步骤 3：利用矩阵乘法和特征值的性质
根据矩阵乘法的分配律，$A({x}_{1}+{x}_{2}) = Ax_1 + Ax_2 = \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2$。根据假设，$A({x}_{1}+{x}_{2}) = \lambda({x}_{1}+{x}_{2})$，所以有 $\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 = \lambda({x}_{1}+{x}_{2})$。
步骤 4：线性无关的性质
由于 $x_1$ 和 $x_2$ 是分别属于 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 的特征向量，且 $\lambda_1 \neq \lambda_2$，所以 $x_1$ 和 $x_2$ 是线性无关的。因此，$\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 = \lambda({x}_{1}+{x}_{2})$ 只有在 $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$ 的情况下才成立，这与 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ 矛盾。
步骤 5：结论
由于假设 ${x}_{1}+{x}_{2}$ 是A的特征向量导致了矛盾，所以 ${x}_{1}+{x}_{2}$ 不是A的特征向量。
根据特征向量的定义，如果 $x_1$ 是矩阵 $A$ 的特征向量，那么存在一个特征值 $\lambda_1$ 使得 $Ax_1 = \lambda_1 x_1$。同理，如果 $x_2$ 是矩阵 $A$ 的特征向量，那么存在一个特征值 $\lambda_2$ 使得 $Ax_2 = \lambda_2 x_2$。
步骤 2：假设 ${x}_{1}+{x}_{2}$ 是A的特征向量
假设 ${x}_{1}+{x}_{2}$ 是A的特征向量，那么存在一个特征值 $\lambda$ 使得 $A({x}_{1}+{x}_{2}) = \lambda({x}_{1}+{x}_{2})$。
步骤 3：利用矩阵乘法和特征值的性质
根据矩阵乘法的分配律，$A({x}_{1}+{x}_{2}) = Ax_1 + Ax_2 = \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2$。根据假设，$A({x}_{1}+{x}_{2}) = \lambda({x}_{1}+{x}_{2})$，所以有 $\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 = \lambda({x}_{1}+{x}_{2})$。
步骤 4：线性无关的性质
由于 $x_1$ 和 $x_2$ 是分别属于 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 的特征向量，且 $\lambda_1 \neq \lambda_2$，所以 $x_1$ 和 $x_2$ 是线性无关的。因此，$\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 = \lambda({x}_{1}+{x}_{2})$ 只有在 $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda$ 的情况下才成立，这与 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ 矛盾。
步骤 5：结论
由于假设 ${x}_{1}+{x}_{2}$ 是A的特征向量导致了矛盾，所以 ${x}_{1}+{x}_{2}$ 不是A的特征向量。