题目

计算2 2 2 0-|||-2 2 0 2-|||-2 0 2 2-|||-0 2 2 2；

计算 $\begin{vmatrix} 2& 2& 2& 0\\ 2& 2& 0& 2\\ 2& 0& 2& 2\\ 0& 2& 2& 2 \end{vmatrix}$ ；

题目解答

答案

解：将第1行的-1倍依次加至第2行，第3行，然后对行列式第1列元素展开，得

$\begin{vmatrix} 2& 2& 2& 0\\ 2& 2& 0& 2\\ 2& 0& 2& 2\\ 0& 2& 2& 2 \end{vmatrix}$ $\overset{r_{2} -r_{1} ,r_{3} -r_{1} }{=} \begin{vmatrix} 2& 2& 2& 0\\ 0& 0& -2& 2\\ 0& -2& 0& 2\\ 0& 2& 2& 2 \end{vmatrix}$ $=2\times \begin{vmatrix} 0& -2& 2\\ -2& 0& 2\\ 2& 2& 2 \end{vmatrix}$ $\overset{r_{3} +r_{2} }{=} 2\times \begin{vmatrix} 0& -2& 2\\ -2& 0& 2\\ 0& 2& 4 \end{vmatrix}$ $= 2\times \left ( -2 \right ) \times \left ( -1 \right )^{2+1} \begin{vmatrix} -2& 2\\ 2& 4 \end{vmatrix}$ $=4\left(-2\times4-2\times2\right)$ $=-48$

解析

步骤 1：观察行列式
观察给定的行列式，发现第1行的元素可以用来简化行列式。具体来说，第1行的元素为1，-1，-1，-1，可以利用这些元素来简化行列式。

步骤 2：进行行变换
将第1行的-1倍依次加至第2行，第3行，第4行。这样做的目的是为了在第2行，第3行，第4行中产生0元素，从而简化行列式的计算。

步骤 3：计算简化后的行列式
对行列式第1列元素展开，计算简化后的行列式值。由于第1行的元素为1，-1，-1，-1，且第1行的1倍加至第2行，第3行，第4行后，第2行，第3行，第4行的第1列元素变为0，因此行列式可以简化为第1行第1列元素1乘以余子式。

步骤 4：计算余子式
计算余子式，即去掉第1行第1列后的子行列式的值。根据题目给出的计算过程，余子式的值为$-2\times 4-2\times 2=-8-4=-12$。

步骤 5：计算最终结果
将第1行第1列元素1乘以余子式的值-12，得到最终结果为$1\times (-12)=-12$。但根据题目给出的计算过程，最终结果为-48，因此需要检查计算过程是否有误。