题目
22.填空题当k=____时，beta=(k,-9,7)可由a_(1)=(1,-3,2),a_(2)=(2,-1,1)线性表示.第1空：____
22.填空题
当k=____时，$\beta=(k,-9,7)$可由$a_{1}=(1,-3,2),a_{2}=(2,-1,1)$线性表示.
第1空：____
题目解答
答案
为了确定 $ k $ 的值，使得向量 $\beta = (k, -9, 7)$ 可以由向量 $a_1 = (1, -3, 2)$ 和 $a_2 = (2, -1, 1)$ 线性表示，我们需要找到 scalars $x$ 和 $y$，使得：
\[
\beta = x a_1 + y a_2
\]
将向量的分量代入，我们得到以下方程组：
\[
\begin{cases}
x \cdot 1 + y \cdot 2 = k \\
x \cdot (-3) + y \cdot (-1) = -9 \\
x \cdot 2 + y \cdot 1 = 7
\end{cases}
\]
简化后，方程组为：
\[
\begin{cases}
x + 2y = k \quad \text{(1)} \\
-3x - y = -9 \quad \text{(2)} \\
2x + y = 7 \quad \text{(3)}
\end{cases}
\]
首先，我们解方程组的后两个方程，即方程 (2) 和 (3)。将方程 (3) 乘以 3，然后与方程 (2) 相加，消去 $x$：
\[
3(2x + y) = 3 \cdot 7 \implies 6x + 3y = 21
\]
\[
-3x - y + 6x + 3y = -9 + 21 \implies 3x + 2y = 12 \quad \text{(4)}
\]
现在我们有方程 (3) 和 (4)：
\[
\begin{cases}
2x + y = 7 \quad \text{(3)} \\
3x + 2y = 12 \quad \text{(4)}
\end{cases}
\]
将方程 (3) 乘以 2，然后与方程 (4) 相减，消去 $y$:
\[
2(2x + y) = 2 \cdot 7 \implies 4x + 2y = 14
\]
\[
3x + 2y - (4x + 2y) = 12 - 14 \implies -x = -2 \implies x = 2
\]
将 $x = 2$ 代入方程 (3)：
\[
2 \cdot 2 + y = 7 \implies 4 + y = 7 \implies y = 3
\]
现在我们有 $x = 2$ 和 $y = 3$。将 $x$ 和 $y$ 代入方程 (1)：
\[
x + 2y = k \implies 2 + 2 \cdot 3 = k \implies 2 + 6 = k \implies k = 8
\]
因此，当 $k = 8$ 时，向量 $\beta = (k, -9, 7)$ 可以由向量 $a_1 = (1, -3, 2)$ 和 $a_2 = (2, -1, 1)$ 线性表示。
答案是 $\boxed{8}$。
解析
步骤 1：建立方程组
为了确定 $k$ 的值，使得向量 $\beta = (k, -9, 7)$ 可以由向量 $a_1 = (1, -3, 2)$ 和 $a_2 = (2, -1, 1)$ 线性表示，我们需要找到 scalars $x$ 和 $y$，使得： \[ \beta = x a_1 + y a_2 \] 将向量的分量代入，我们得到以下方程组： \[ \begin{cases} x \cdot 1 + y \cdot 2 = k \\ x \cdot (-3) + y \cdot (-1) = -9 \\ x \cdot 2 + y \cdot 1 = 7 \end{cases} \] 简化后，方程组为： \[ \begin{cases} x + 2y = k \quad \text{(1)} \\ -3x - y = -9 \quad \text{(2)} \\ 2x + y = 7 \quad \text{(3)} \end{cases} \]
步骤 2：解方程组
首先，我们解方程组的后两个方程，即方程 (2) 和 (3)。将方程 (3) 乘以 3，然后与方程 (2) 相加，消去 $x$： \[ 3(2x + y) = 3 \cdot 7 \implies 6x + 3y = 21 \] \[ -3x - y + 6x + 3y = -9 + 21 \implies 3x + 2y = 12 \quad \text{(4)} \] 现在我们有方程 (3) 和 (4)： \[ \begin{cases} 2x + y = 7 \quad \text{(3)} \\ 3x + 2y = 12 \quad \text{(4)} \end{cases} \] 将方程 (3) 乘以 2，然后与方程 (4) 相减，消去 $y$: \[ 2(2x + y) = 2 \cdot 7 \implies 4x + 2y = 14 \] \[ 3x + 2y - (4x + 2y) = 12 - 14 \implies -x = -2 \implies x = 2 \] 将 $x = 2$ 代入方程 (3)： \[ 2 \cdot 2 + y = 7 \implies 4 + y = 7 \implies y = 3 \]
步骤 3：求解 $k$
现在我们有 $x = 2$ 和 $y = 3$。将 $x$ 和 $y$ 代入方程 (1)： \[ x + 2y = k \implies 2 + 2 \cdot 3 = k \implies 2 + 6 = k \implies k = 8 \] 因此，当 $k = 8$ 时，向量 $\beta = (k, -9, 7)$ 可以由向量 $a_1 = (1, -3, 2)$ 和 $a_2 = (2, -1, 1)$ 线性表示。
为了确定 $k$ 的值，使得向量 $\beta = (k, -9, 7)$ 可以由向量 $a_1 = (1, -3, 2)$ 和 $a_2 = (2, -1, 1)$ 线性表示，我们需要找到 scalars $x$ 和 $y$，使得： \[ \beta = x a_1 + y a_2 \] 将向量的分量代入，我们得到以下方程组： \[ \begin{cases} x \cdot 1 + y \cdot 2 = k \\ x \cdot (-3) + y \cdot (-1) = -9 \\ x \cdot 2 + y \cdot 1 = 7 \end{cases} \] 简化后，方程组为： \[ \begin{cases} x + 2y = k \quad \text{(1)} \\ -3x - y = -9 \quad \text{(2)} \\ 2x + y = 7 \quad \text{(3)} \end{cases} \]
步骤 2：解方程组
首先，我们解方程组的后两个方程，即方程 (2) 和 (3)。将方程 (3) 乘以 3，然后与方程 (2) 相加，消去 $x$： \[ 3(2x + y) = 3 \cdot 7 \implies 6x + 3y = 21 \] \[ -3x - y + 6x + 3y = -9 + 21 \implies 3x + 2y = 12 \quad \text{(4)} \] 现在我们有方程 (3) 和 (4)： \[ \begin{cases} 2x + y = 7 \quad \text{(3)} \\ 3x + 2y = 12 \quad \text{(4)} \end{cases} \] 将方程 (3) 乘以 2，然后与方程 (4) 相减，消去 $y$: \[ 2(2x + y) = 2 \cdot 7 \implies 4x + 2y = 14 \] \[ 3x + 2y - (4x + 2y) = 12 - 14 \implies -x = -2 \implies x = 2 \] 将 $x = 2$ 代入方程 (3)： \[ 2 \cdot 2 + y = 7 \implies 4 + y = 7 \implies y = 3 \]
步骤 3：求解 $k$
现在我们有 $x = 2$ 和 $y = 3$。将 $x$ 和 $y$ 代入方程 (1)： \[ x + 2y = k \implies 2 + 2 \cdot 3 = k \implies 2 + 6 = k \implies k = 8 \] 因此，当 $k = 8$ 时，向量 $\beta = (k, -9, 7)$ 可以由向量 $a_1 = (1, -3, 2)$ 和 $a_2 = (2, -1, 1)$ 线性表示。