下列说法错误的是()A. 奇排列经过一次对换后变为偶排列B. 标准排列的逆序数为0C. 偶排列经过一次对换后仍为偶排列D. 任意一个排列经过若干次对换后可以变为标准排列

本题考查排列的奇偶性、逆序数以及排列与对换的相关知识。解题的关键在于理解对换对排列奇偶性的影响、标准排列逆序数的定义以及排列通过对换转化为标准排列的性质。

1. 分析选项A：
   • 对换是指将一个排列中的两个元素的位置互换。
   • 设一个奇排列为$P$，其逆序数为$t(P)$，且$t(P)$为奇数。
   • 当对$P$进行一次对换后，得到新排列$P'$。根据对换改变排列逆序数奇偶性的性质，新排列$P'$的逆序数$t(P')$与$t(P)$的奇偶性不同。
   • 因为$t(P)$是奇数，所以$t(P')$为偶数，即奇排列经过一次对换后变为偶排列，选项A正确。
2. 分析选项B：
   • 标准排列是指按自然数从小到大的顺序排列，例如$1,2,3,\cdots,n$。
   • 逆序数是指在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。
   • 对于标准排列$1,2,3,\cdots,n$，任意两个数都是前面的数小于后面的数，不存在逆序，所以其逆序数$t = 0$，选项B正确。
3. 分析选项C：
   • 设一个偶排列为$Q$，其逆序数为$t(Q)$，且$t(Q)$为偶数。
   • 当对$Q$进行一次对换后，得到新排列$Q'$。根据对换改变排列逆序数奇偶性的性质，新排列$Q'$的逆序数$t(Q')$与$t(Q)$的奇偶性不同。
   • 因为$t(Q)$是偶数，所以$t(Q')$为奇数，即偶排列经过一次对换后变为奇排列，而不是仍为偶排列，选项C错误。
4. 分析选项D：
   • 由于对换可以改变排列的元素顺序，通过不断地进行对换操作，我们可以逐步将任意一个排列调整为标准排列。
   • 例如，对于排列$3,2,1$，先交换$3$和$1$得到$1,2,3$，就变成了标准排列，所以任意一个排列经过若干次对换后可以变为标准排列，选项D正确。