题目
3.设 |A|= |} 1& 2& 1& 1 2& 3& 4& 8 3& 4& 9& 27 4& 1& 16& 64 ,其中Aiy为元素aiy的代数-|||-余子式.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义代数余子式
代数余子式 ${A}_{ij}$ 是指矩阵 $A$ 中元素 $a_{ij}$ 的余子式 $M_{ij}$ 乘以 $(-1)^{i+j}$。即 ${A}_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$，其中 $M_{ij}$ 是去掉第 $i$ 行和第 $j$ 列后剩余矩阵的行列式。
步骤 2：计算 ${A}_{12}+{A}_{22}+{A}_{32}+{A}_{42}$
根据代数余子式的定义，我们需要计算矩阵 $A$ 中第 $2$ 列元素的代数余子式之和。即计算 ${A}_{12}+{A}_{22}+{A}_{32}+{A}_{42}$。
- ${A}_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = -M_{12}$
- ${A}_{22} = (-1)^{2+2} M_{22} = M_{22}$
- ${A}_{32} = (-1)^{3+2} M_{32} = -M_{32}$
- ${A}_{42} = (-1)^{4+2} M_{42} = M_{42}$
步骤 3：计算余子式
计算每个余子式 $M_{ij}$，即去掉第 $i$ 行和第 $j$ 列后剩余矩阵的行列式。
- $M_{12} = \left |\begin{matrix} 2& 4& 8\\ 3& 9& 27\\ 4& 16& 64\end{matrix} | \right.$
- $M_{22} = \left |\begin{matrix} 1& 1& 1\\ 3& 9& 27\\ 4& 16& 64\end{matrix} | \right.$
- $M_{32} = \left |\begin{matrix} 1& 1& 1\\ 2& 4& 8\\ 4& 16& 64\end{matrix} | \right.$
- $M_{42} = \left |\begin{matrix} 1& 1& 1\\ 2& 4& 8\\ 3& 9& 27\end{matrix} | \right.$
步骤 4：计算行列式
计算每个余子式的值。
- $M_{12} = 2(9*64 - 27*16) - 4(3*64 - 27*4) + 8(3*16 - 9*4) = 2(576 - 432) - 4(192 - 108) + 8(48 - 36) = 2(144) - 4(84) + 8(12) = 288 - 336 + 96 = 48$
- $M_{22} = 1(9*64 - 27*16) - 1(3*64 - 27*4) + 1(3*16 - 9*4) = 1(576 - 432) - 1(192 - 108) + 1(48 - 36) = 1(144) - 1(84) + 1(12) = 144 - 84 + 12 = 72$
- $M_{32} = 1(4*64 - 8*16) - 1(2*64 - 8*4) + 1(2*16 - 4*4) = 1(256 - 128) - 1(128 - 32) + 1(32 - 16) = 1(128) - 1(96) + 1(16) = 128 - 96 + 16 = 48$
- $M_{42} = 1(4*27 - 8*9) - 1(2*27 - 8*3) + 1(2*9 - 4*3) = 1(108 - 72) - 1(54 - 24) + 1(18 - 12) = 1(36) - 1(30) + 1(6) = 36 - 30 + 6 = 12$
步骤 5：计算代数余子式之和
将计算出的余子式代入代数余子式之和的表达式中。
- ${A}_{12}+{A}_{22}+{A}_{32}+{A}_{42} = -M_{12} + M_{22} - M_{32} + M_{42} = -48 + 72 - 48 + 12 = -12$
代数余子式 ${A}_{ij}$ 是指矩阵 $A$ 中元素 $a_{ij}$ 的余子式 $M_{ij}$ 乘以 $(-1)^{i+j}$。即 ${A}_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$，其中 $M_{ij}$ 是去掉第 $i$ 行和第 $j$ 列后剩余矩阵的行列式。
步骤 2：计算 ${A}_{12}+{A}_{22}+{A}_{32}+{A}_{42}$
根据代数余子式的定义，我们需要计算矩阵 $A$ 中第 $2$ 列元素的代数余子式之和。即计算 ${A}_{12}+{A}_{22}+{A}_{32}+{A}_{42}$。
- ${A}_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = -M_{12}$
- ${A}_{22} = (-1)^{2+2} M_{22} = M_{22}$
- ${A}_{32} = (-1)^{3+2} M_{32} = -M_{32}$
- ${A}_{42} = (-1)^{4+2} M_{42} = M_{42}$
步骤 3：计算余子式
计算每个余子式 $M_{ij}$，即去掉第 $i$ 行和第 $j$ 列后剩余矩阵的行列式。
- $M_{12} = \left |\begin{matrix} 2& 4& 8\\ 3& 9& 27\\ 4& 16& 64\end{matrix} | \right.$
- $M_{22} = \left |\begin{matrix} 1& 1& 1\\ 3& 9& 27\\ 4& 16& 64\end{matrix} | \right.$
- $M_{32} = \left |\begin{matrix} 1& 1& 1\\ 2& 4& 8\\ 4& 16& 64\end{matrix} | \right.$
- $M_{42} = \left |\begin{matrix} 1& 1& 1\\ 2& 4& 8\\ 3& 9& 27\end{matrix} | \right.$
步骤 4：计算行列式
计算每个余子式的值。
- $M_{12} = 2(9*64 - 27*16) - 4(3*64 - 27*4) + 8(3*16 - 9*4) = 2(576 - 432) - 4(192 - 108) + 8(48 - 36) = 2(144) - 4(84) + 8(12) = 288 - 336 + 96 = 48$
- $M_{22} = 1(9*64 - 27*16) - 1(3*64 - 27*4) + 1(3*16 - 9*4) = 1(576 - 432) - 1(192 - 108) + 1(48 - 36) = 1(144) - 1(84) + 1(12) = 144 - 84 + 12 = 72$
- $M_{32} = 1(4*64 - 8*16) - 1(2*64 - 8*4) + 1(2*16 - 4*4) = 1(256 - 128) - 1(128 - 32) + 1(32 - 16) = 1(128) - 1(96) + 1(16) = 128 - 96 + 16 = 48$
- $M_{42} = 1(4*27 - 8*9) - 1(2*27 - 8*3) + 1(2*9 - 4*3) = 1(108 - 72) - 1(54 - 24) + 1(18 - 12) = 1(36) - 1(30) + 1(6) = 36 - 30 + 6 = 12$
步骤 5：计算代数余子式之和
将计算出的余子式代入代数余子式之和的表达式中。
- ${A}_{12}+{A}_{22}+{A}_{32}+{A}_{42} = -M_{12} + M_{22} - M_{32} + M_{42} = -48 + 72 - 48 + 12 = -12$