题目
7.解答题将函数(1)/(az+b)(a,b为复数，且b≠0).展成z的幂级数，并指出展式成立的范围。
7.解答题
将函数
$\frac{1}{az+b}$(a,b为复数，且b≠0).展成z的幂级数，并指出展式成立的范围。
题目解答
答案
将函数 $\frac{1}{az+b}$（其中 $a, b$ 为复数且 $b \neq 0$）重写为：
\[
\frac{1}{az+b} = \frac{1}{b \left(1 + \frac{az}{b}\right)}
\]
利用几何级数展开 $\frac{1}{1+u} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n u^n$（对于 $|u| < 1$），其中 $u = \frac{az}{b}$，得：
\[
\frac{1}{1 + \frac{az}{b}} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{az}{b}\right)^n
\]
收敛条件为 $ \left| \frac{az}{b} \right| < 1 $，即 $|z| < \left| \frac{b}{a} \right|$。将上式乘以 $\frac{1}{b}$：
\[
\frac{1}{az+b} = \frac{1}{b} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{a}{b}\right)^n z^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{a^n}{b^{n+1}} z^n
\]
**答案：**
\[
\boxed{\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{a^n}{b^{n+1}} z^n}
\]
**收敛范围：**
\[
|z| < \left| \frac{b}{a} \right|
\]
解析
步骤 1：重写函数
将函数 $\frac{1}{az+b}$ 重写为 $\frac{1}{b \left(1 + \frac{az}{b}\right)}$，以便利用几何级数展开。
步骤 2：利用几何级数展开
利用几何级数展开 $\frac{1}{1+u} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n u^n$（对于 $|u| < 1$），其中 $u = \frac{az}{b}$，得： \[ \frac{1}{1 + \frac{az}{b}} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{az}{b}\right)^n \] 收敛条件为 $ \left| \frac{az}{b} \right| < 1 $，即 $|z| < \left| \frac{b}{a} \right|$。
步骤 3：乘以 $\frac{1}{b}$
将上式乘以 $\frac{1}{b}$： \[ \frac{1}{az+b} = \frac{1}{b} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{az}{b}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{a^n}{b^{n+1}} z^n \]
将函数 $\frac{1}{az+b}$ 重写为 $\frac{1}{b \left(1 + \frac{az}{b}\right)}$，以便利用几何级数展开。
步骤 2：利用几何级数展开
利用几何级数展开 $\frac{1}{1+u} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n u^n$（对于 $|u| < 1$），其中 $u = \frac{az}{b}$，得： \[ \frac{1}{1 + \frac{az}{b}} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{az}{b}\right)^n \] 收敛条件为 $ \left| \frac{az}{b} \right| < 1 $，即 $|z| < \left| \frac{b}{a} \right|$。
步骤 3：乘以 $\frac{1}{b}$
将上式乘以 $\frac{1}{b}$： \[ \frac{1}{az+b} = \frac{1}{b} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\frac{az}{b}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{a^n}{b^{n+1}} z^n \]