（问答题）9.设实数x，y满足3x²+2y²=6，求2x+y的最大值.

为了求解满足 $3x^2 + 2y^2 = 6$ 的实数 $x$ 和 $y$ 使得 $2x + y$ 取得最大值，我们可以使用拉格朗日乘数法。拉格朗日乘数法是求解条件极值问题的一种方法，它将约束条件和目标函数结合成一个拉格朗日函数，然后求解该函数的极值。 1. **定义拉格朗日函数：** 设 $f(x, y) = 2x + y$ 为要最大化的函数， $g(x, y) = 3x^2 + 2y^2 - 6 = 0$ 为约束条件。拉格朗日函数 $L(x, y, \lambda)$ 定义为： \[ L(x, y, \lambda) = 2x + y + \lambda (6 - 3x^2 - 2y^2) \] 2. **求拉格朗日函数的偏导数并设为零：** 分别对 $x$， $y$ 和 $\lambda$ 求偏导数： \[ \frac{\partial L}{\partial x} = 2 - 6\lambda x = 0 \] \[ \frac{\partial L}{\partial y} = 1 - 4\lambda y = 0 \] \[ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 6 - 3x^2 - 2y^2 = 0 \] 3. **解方程组：** 从 $\frac{\partial L}{\partial x} = 0$ 得到： \[ 2 = 6\lambda x \implies \lambda x = \frac{1}{3} \implies x = \frac{1}{3\lambda} \] 从 $\frac{\partial L}{\partial y} = 0$ 得到： \[ 1 = 4\lambda y \implies \lambda y = \frac{1}{4} \implies y = \frac{1}{4\lambda} \] 将 $x = \frac{1}{3\lambda}$ 和 $y = \frac{1}{4\lambda}$ 代入 $\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0$： \[ 6 - 3\left(\frac{1}{3\lambda}\right)^2 - 2\left(\frac{1}{4\lambda}\right)^2 = 0 \] \[ 6 - 3\left(\frac{1}{9\lambda^2}\right) - 2\left(\frac{1}{16\lambda^2}\right) = 0 \] \[ 6 - \frac{1}{3\lambda^2} - \frac{1}{8\lambda^2} = 0 \] \[ 6 - \frac{8 + 3}{24\lambda^2} = 0 \] \[ 6 - \frac{11}{24\lambda^2} = 0 \] \[ 6 = \frac{11}{24\lambda^2} \] \[ 144\lambda^2 = 11 \] \[ \lambda^2 = \frac{11}{144} \] \[ \lambda = \pm \frac{\sqrt{11}}{12} \] 4. **求 $x$ 和 $y$ 的值：** 当 $\lambda = \frac{\sqrt{11}}{12}$ 时： \[ x = \frac{1}{3\lambda} = \frac{1}{3 \cdot \frac{\sqrt{11}}{12}} = \frac{12}{3\sqrt{11}} = \frac{4}{\sqrt{11}} = \frac{4\sqrt{11}}{11} \] \[ y = \frac{1}{4\lambda} = \frac{1}{4 \cdot \frac{\sqrt{11}}{12}} = \frac{12}{4\sqrt{11}} = \frac{3}{\sqrt{11}} = \frac{3\sqrt{11}}{11} \] 当 $\lambda = -\frac{\sqrt{11}}{12}$ 时： \[ x = \frac{1}{3\lambda} = \frac{1}{3 \cdot -\frac{\sqrt{11}}{12}} = -\frac{12}{3\sqrt{11}} = -\frac{4}{\sqrt{11}} = -\frac{4\sqrt{11}}{11} \] \[ y = \frac{1}{4\lambda} = \frac{1}{4 \cdot -\frac{\sqrt{11}}{12}} = -\frac{12}{4\sqrt{11}} = -\frac{3}{\sqrt{11}} = -\frac{3\sqrt{11}}{11} \] 5. **计算 $2x + y$ 的值：** 当 $x = \frac{4\sqrt{11}}{11}$ 和 $y = \frac{3\sqrt{11}}{11}$ 时： \[ 2x + y = 2 \cdot \frac{4\sqrt{11}}{11} + \frac{3\sqrt{11}}{11} = \frac{8\sqrt{11}}{11} + \frac{3\sqrt{11}}{11} = \frac{11\sqrt{11}}{11} = \sqrt{11} \] 当 $x = -\frac{4\sqrt{11}}{11}$ 和 $y = -\frac{3\sqrt{11}}{11}$ 时： \[ 2x + y = 2 \cdot -\frac{4\sqrt{11}}{11} + -\frac{3\sqrt{11}}{11} = -\frac{8\sqrt{11}}{11} - \frac{3\sqrt{11}}{11} = -\frac{11\sqrt{11}}{11} = -\sqrt{11} \] 因此， $2x + y$ 的最大值为 $\sqrt{11}$。 \[ \boxed{\sqrt{11}} \]