题目
设二维随机变量(X,Y)sim U(G)，其中(X,Y)sim U(G)，则(X,Y)sim U(G)的联合密度函数为(X,Y)sim U(G)其中(X,Y)sim U(G)且(X,Y)sim U(G)(结果若不为整数，请用分数表示).
设二维随机变量
，其中
，则
的联合密度函数为
其中
且
(结果若不为整数，请用分数表示).
题目解答
答案
由已知二维随机变量服从G上的均匀分布，根据二维均匀分布的概率密度定义可得：
又
，则的联合密度函数为：
故
记
则
综上：
解析
步骤 1：确定联合密度函数
二维随机变量$(X,Y)$服从$G$上的均匀分布，其中$G=\{ (x,y)|0\leqslant x\leqslant 2,0\leqslant y\leqslant 2\} $。根据二维均匀分布的概率密度定义，联合密度函数$f(x,y)$为：
$$f(x,y)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{{S}_{G}},\quad (X,Y)\in G\\ 0,\quad 其他\end{matrix} \right.$$
其中${S}_{G}$是区域$G$的面积。由于$G$是一个边长为2的正方形，其面积${S}_{G}=2\times 2=4$，因此联合密度函数为：
$$f(x,y)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{4},\quad 0\leqslant x\leqslant 2,0\leqslant y\leqslant 2\\ 0,\quad 其他\end{matrix} \right.$$
步骤 2：计算$P(X+Y\leqslant \dfrac {3}{2})$
记$C=\{ (x,y)|x\geqslant 0,y\geqslant 0,x+y\leqslant \dfrac {3}{2}\}$，则$P(X+Y\leqslant \dfrac {3}{2})=P((X,Y)\in C)$。$C$是一个直角三角形，其面积${S}_{C}=\dfrac {\dfrac {3}{2}\times \dfrac {3}{2}}{2}=\dfrac {9}{8}$。因此，$P(X+Y\leqslant \dfrac {3}{2})$为：
$$P(X+Y\leqslant \dfrac {3}{2})=\iint_{C}f(x,y)dxdy=\iint_{C}\dfrac {1}{4}dxdy=\dfrac {{S}_{C}}{4}=\dfrac {\dfrac {9}{8}}{4}=\dfrac {9}{32}$$
二维随机变量$(X,Y)$服从$G$上的均匀分布，其中$G=\{ (x,y)|0\leqslant x\leqslant 2,0\leqslant y\leqslant 2\} $。根据二维均匀分布的概率密度定义，联合密度函数$f(x,y)$为：
$$f(x,y)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{{S}_{G}},\quad (X,Y)\in G\\ 0,\quad 其他\end{matrix} \right.$$
其中${S}_{G}$是区域$G$的面积。由于$G$是一个边长为2的正方形，其面积${S}_{G}=2\times 2=4$，因此联合密度函数为：
$$f(x,y)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{4},\quad 0\leqslant x\leqslant 2,0\leqslant y\leqslant 2\\ 0,\quad 其他\end{matrix} \right.$$
步骤 2：计算$P(X+Y\leqslant \dfrac {3}{2})$
记$C=\{ (x,y)|x\geqslant 0,y\geqslant 0,x+y\leqslant \dfrac {3}{2}\}$，则$P(X+Y\leqslant \dfrac {3}{2})=P((X,Y)\in C)$。$C$是一个直角三角形，其面积${S}_{C}=\dfrac {\dfrac {3}{2}\times \dfrac {3}{2}}{2}=\dfrac {9}{8}$。因此，$P(X+Y\leqslant \dfrac {3}{2})$为：
$$P(X+Y\leqslant \dfrac {3}{2})=\iint_{C}f(x,y)dxdy=\iint_{C}\dfrac {1}{4}dxdy=\dfrac {{S}_{C}}{4}=\dfrac {\dfrac {9}{8}}{4}=\dfrac {9}{32}$$