题目

设实对称矩阵A的特征值全大于a，实对称矩阵B的特征值全大于b，证明A+B的特征值全大于a+b..

设实对称矩阵A的特征值全大于a，实对称矩阵B的特征值全大于b，证明A+B的特征值全大于a+b.

.

题目解答

答案

解。

因为：实对称矩阵A的特征值全大于a，

所以：A−aE为正定阵；

同理：A−bE为正定阵。

从而：(A−aE)+(A−bE)为正定阵。

假设λ为A+B的任一特征值，相应的特征向量为x，

即(A+B)x=λx，

于是：

[(A−aE)+(B−bE)]x=(A+B)x−(a+b)Ex=(λ−(a+b))x，

所以：λ−(a+b)为(A−aE)+(A−bE)的特征值，

又因为：(A−aE)+(A−bE)为正定阵，

所以：λ−(a+b)>0，

即λ>a+b，证毕。

.

解析

考查要点：本题主要考查实对称矩阵的性质、正定矩阵的判定及其特征值的性质。

解题核心思路：

  1. 实对称矩阵的特征值性质：实对称矩阵可正交对角化，特征值均为实数。
  2. 正定矩阵的判定：若矩阵$A$的特征值均大于$a$，则$A - aE$为正定矩阵。
  3. 正定矩阵的和仍为正定矩阵：利用正定矩阵的和的性质，结合特征值的线性运算，推导出$A+B$的特征值下界。

破题关键点：

  • 将原矩阵$A$和$B$分别平移$aE$和$bE$，构造正定矩阵$A - aE$和$B - bE$。
  • 利用正定矩阵的和仍为正定矩阵，得出$A + B - (a + b)E$的正定性。
  • 通过特征值的线性关系，将$A + B$的特征值与$a + b$关联。

步骤1：构造正定矩阵

  • 由题，实对称矩阵$A$的特征值均大于$a$，故$A - aE$的特征值均大于$0$，即$A - aE$为正定矩阵。
  • 同理，实对称矩阵$B$的特征值均大于$b$，故$B - bE$为正定矩阵。

步骤2：正定矩阵的和

  • 正定矩阵的和仍为正定矩阵，因此$(A - aE) + (B - bE) = A + B - (a + b)E$为正定矩阵。

步骤3：特征值的线性关系

  • 设$\lambda$为$A + B$的任一特征值，对应特征向量为$x$，则$(A + B)x = \lambda x$。
  • 两边减去$(a + b)Ex$，得：
    $(A + B - (a + b)E)x = (\lambda - (a + b))x.$
  • 这表明$\lambda - (a + b)$是正定矩阵$A + B - (a + b)E$的特征值。

步骤4：正定矩阵的特征值性质

  • 正定矩阵的所有特征值均大于$0$，因此$\lambda - (a + b) > 0$，即$\lambda > a + b$。