二重积分也可看作在平面片上的第一类曲面积分A 对 B 错

考查要点：本题主要考查第一类曲面积分与二重积分的关系，特别是当曲面为平面时的转化关系。

解题核心思路：

1. 第一类曲面积分转化为二重积分的公式中，面积元素$dS$需要通过曲面方程转化为平面区域上的二重积分。
2. 平面片的特殊性：当曲面为平面时，曲面方程$z(x,y)=C$的偏导数为零，导致面积元素的转换因子$\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}$简化为$1$，此时第一类曲面积分退化为二重积分。

破题关键点：

• 明确第一类曲面积分的转化公式，并理解平面片情况下公式的简化。

第一类曲面积分转化为二重积分的公式：
若曲面$\Sigma$由$z=z(x,y)$给出，则
$\iint_{\Sigma} f(x,y,z) \, dS = \iint_{D} f(x,y,z(x,y)) \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} \, dx \, dy$

平面片的特殊情况：
当曲面为平面片时，$z(x,y)=C$（常数），此时：

1. 偏导数为零：$z_x = 0$，$z_y = 0$。
2. 转换因子简化：$\sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} = \sqrt{1 + 0 + 0} = 1$。
3. 函数简化：$f(x,y,z(x,y)) = f(x,y,C) = f(x,y)$（因$z$为常数）。

因此，第一类曲面积分变为：
$\iint_{\Sigma} f(x,y,z) \, dS = \iint_{D} f(x,y) \cdot 1 \, dx \, dy = \iint_{D} f(x,y) \, dx \, dy$
这与二重积分的定义完全一致，故二重积分可视为平面片上的第一类曲面积分。