判断下列函数的奇偶性.(1) f(x) = x sin^2 x;(2) f(x) = x sin x^2;(3) f(x) = sin(arctan x);(4) f(x) = (x^3 cos x^3)/(1 + x^2);(5) f(x) = (2^x - 2^-x)/(3);

我们来逐个分析这些函数的**奇偶性**。 --- ### **定义回顾：** - 一个函数 $ f(x) $ 是**偶函数**，如果对于所有 $ x $，有： $$ f(-x) = f(x) $$ - 一个函数 $ f(x) $ 是**奇函数**，如果对于所有 $ x $，有： $$ f(-x) = -f(x) $$ --- ## **(1) $ f(x) = x \sin^2 x $** ### 分析： 我们计算 $ f(-x) $： $$ f(-x) = (-x) \cdot \sin^2(-x) $$ 因为 $ \sin(-x) = -\sin x $，所以： $$ \sin^2(-x) = (-\sin x)^2 = \sin^2 x $$ 因此： $$ f(-x) = (-x) \cdot \sin^2 x = -x \cdot \sin^2 x = -f(x) $$ ### 结论： $$ \boxed{f(x) = x \sin^2 x \text{ 是奇函数}} $$ --- ## **(2) $ f(x) = x \sin x^2 $** ### 分析： 计算 $ f(-x) $： $$ f(-x) = (-x) \cdot \sin((-x)^2) = (-x) \cdot \sin(x^2) $$ 因为 $ (-x)^2 = x^2 $，所以： $$ f(-x) = -x \cdot \sin x^2 = -f(x) $$ ### 结论： $$ \boxed{f(x) = x \sin x^2 \text{ 是奇函数}} $$ --- ## **(3) $ f(x) = \sin(\arctan x) $** ### 分析： 我们计算 $ f(-x) $： $$ f(-x) = \sin(\arctan(-x)) = \sin(-\arctan x) $$ 因为 $ \arctan(-x) = -\arctan x $，所以： $$ f(-x) = \sin(-\arctan x) = -\sin(\arctan x) = -f(x) $$ ### 结论： $$ \boxed{f(x) = \sin(\arctan x) \text{ 是奇函数}} $$ --- ## **(4) $ f(x) = \frac{x^3 \cos x^3}{1 + x^2} $** ### 分析： 计算 $ f(-x) $： $$ f(-x) = \frac{(-x)^3 \cos((-x)^3)}{1 + (-x)^2} $$ $$ = \frac{-x^3 \cos(-x^3)}{1 + x^2} $$ 因为 $ \cos(-x^3) = \cos(x^3) $，所以： $$ f(-x) = \frac{-x^3 \cos x^3}{1 + x^2} = -\frac{x^3 \cos x^3}{1 + x^2} = -f(x) $$ ### 结论： $$ \boxed{f(x) = \frac{x^3 \cos x^3}{1 + x^2} \text{ 是奇函数}} $$ --- ## **(5) $ f(x) = \frac{2^x - 2^{-x}}{3} $** ### 分析： 计算 $ f(-x) $： $$ f(-x) = \frac{2^{-x} - 2^x}{3} = -\frac{2^x - 2^{-x}}{3} = -f(x) $$ ### 结论： $$ \boxed{f(x) = \frac{2^x - 2^{-x}}{3} \text{ 是奇函数}} $$ --- ## **最终答案汇总：** 1. $ f(x) = x \sin^2 x $ 是 **奇函数** 2. $ f(x) = x \sin x^2 $ 是 **奇函数** 3. $ f(x) = \sin(\arctan x) $ 是 **奇函数** 4. $ f(x) = \frac{x^3 \cos x^3}{1 + x^2} $ 是 **奇函数** 5. $ f(x) = \frac{2^x - 2^{-x}}{3} $ 是 **奇函数** --- ### **总结：** 所有五个函数都是**奇函数**。